考研数学一笔记Word格式文档下载.docx
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⒍
ln1-x~-x
⒎
ex-1~x
⒏
1-cosx~12x2
9.1+xα=1+αx+αα-12!
+
1+βxα-1~αβx
10.ax-1=exlna-1
四、7种未定型(注意正真的0和1与极限为0和1的区别)
设limfx=A,limgx=B
ABA,B均为数且A>
0A为0,B为+∞
+∞A为0,B为-∞
∞0A为∞,B为0
1∞A为1,B为∞
00A为0,B为0
ABA,B均为数
0A为数,B为∞∞A为∞,B为数00A为0,B为0∞∞A为∞,B为∞
limfxg(x)=
A∙BA为数B为数
∞A,B中一个为数,另一个为∞
0∙∞A,B中一个为0,另一个为∞
limfxgx=
A-BA,B均为数
∞A,B一个为数,另一个为∞
∞A,B为异号∞
∞-∞A,B为同号∞
limfx-gx=
五、求渐近线的步骤
⒈先求垂直渐近线:
⒉求水平渐近线:
⒊求斜渐近线:
(时才需求斜渐近线,因为水平渐近线和斜渐近线不同时存在)
六、极值点的来源:
①不可导点:
②驻点
七、需要考虑左右极限的情况
⒈式子中含有
⒉式子中含有
①
②不存在
⒊式子中含偶次方根
⒋式子中含有取整符号
⒌含有
⒍分段函数
导数
①判定fx在x0处是否可导
②利用导数的定义求极限(罗比达法则的替补)
导数的应用
⑴分段函数的分段点;
⑵抽象函数:
⑶不满足求导法则;
⑷求导函数太复杂。
③求导数
①分子一动一静
②分母有左有右
③上下同阶或低阶
可导条件
1.公式法
2.归纳法
3.莱布尼兹公式
求高阶导数
①写出Taylor展开式
②将f(x)间接展开
③利用对应系数相等
步骤
4.利用Taylor公式
中值定理
涉及的中值定理,即连续函数在闭区域[a,b]上的性质
⒈设在[a,b]上连续,则
定理一(有界性):
定理二(最值定理):
,其中m,M分别是在[a,b]上的最小值与最大值。
定理三(介值定理):
当时,其中m,M分别是在[a,b]上的最小值与最大值,使得
定理四(零点定理):
当时,使得
⒉涉及导数的中值定理
定理五(费马引理):
设在x0的某领域U(x0)内有定义,且在x0处可导如果对任意的x∈U(x0)有(或),那么。
补充一(导数零点定理)设在[a,b]内可导,且,则,使得
定理六(罗尔定理):
如果函数
⑴在闭区间上连续,
⑵在开区间内可导,
⑶且在区间端点的函数值相等,即,
那末在内至少有一点,使得函数在该点的导数等于零,即。
该定理的逆否命题:
若在(a,b)内没有实根,即,则fx=0在[a,b]上至多只有一个实根。
推广:
若在(a,b)上没有实根,即,则fx=0在[a,b]上至多只有n个实根。
定理七(拉格朗日中值定理):
⑴在闭区间上连续,
⑵在开区间内可导
那么在内至少有一点,使等式成立。
定理八(柯西中值定理):
如果函数及在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零,那末在内至少有一点,使等式成立。
定理九(Taylor公式):
如果函数在含有的某个开区间内具有直到n+1阶的导数,则对任意,有
这里的ξ是介于x0与之间的某个值。
注:
Taylor公式常用于处理含二阶及二阶以上导函数代数式的问题,证明的一般思路如下:
①将在x0处展开成比高阶导数低一阶的Taylor展开式
②关键在于如何确定与,一般把题目中已知某点的函数及各阶导数值设为区间端点为,闭区间的中点有时也会用到
③对②得到的式子进行适当运算。
⒊涉及积分的中值定理
定理十(积分中值定理)设在[a,b]上连续则在[a,b]上至少存在一点使得
推广一:
设在[a,b]上连续则使得
推广二(第二积分中值定理):
设与在[a,b]上连续,且在[a,b]不变号,则,使得
①逐项还原
②组合还原
③同乘因子
④求解微分方程
1)f'
ξ+λfξ=0
eλxf'
x+λeλxfx=[eλxf(x)]'
2)λfξ+ξf'
ξ=0
λxλ-1fx+xλf'
x=[xλf(x)]'
同乘以eλx
1.构造辅助函数
两个模型
同乘以xλ-1
罗尔定
理考点
2.找端点值使得fa=f(b)
经典不等式总结
⒈三角不等式:
设为实数则
⑴
⑵
⑶
⑴离散情况:
设为实数,则
⑵连续情况:
设在可积,则
⒉均值不等式
⑴,
,
设是正整数,则
⒊杨氏不等式:
设,则
⒋柯西不等式:
⒌施瓦茨不等式:
若在可积,且平方可积,则
⒍其他不等式
⑴若,则
⑵
⑶
积分
1.有理函数积分
设有真分式Rx=P(x)Q(x),Q(x)已被因式分解,若分母中有一个一因子(x-a)n,则分解式对应项为:
A1x-a+A2x-a2+⋯+Anx-an
若分母中有一个因子x2+px+qn,(p2-4q<
0),则分解式对应项为:
A1x+B1x2+px+q+A2x+B2(x2+px+q)2+⋯+Anx+Bn(x2+px+q)n
ex:
ax2+bx+cx3(x-1)2=A1x+A2x2+A3x3+B1x-1+B2(x-1)2
求积分的方法
①公式法
②分项积分法
③第一类换元
④第二类换元
⑤分部积分法
⑥万能代换
⑦区间再现
万能代换:
令tanx2=t,则
sinx=2sinx2cosx2=2tanx2sec2x2=2t1+t2
cosx=cos2x2-sin2x2=1-tan2x2sec2x2=1-t1+t
区间再现:
在计算很多定积分和某些定积分证明时,有时需要互换积分限。
常见互换积分限为:
①t=-x,x∈[-a,a]
②t=π-x,x∈[0,π]
③t=π2-x,x∈[0,π2]
2.比较广义积分的敛散性
比较判别法的极限形式
⑴设函数fx及g(x)都是在区间[a,+∞)非负连续函数,若,则
当0<
l<
+∞时,a∞fxdx和a∞gxdx同时收敛或同时发散;
当l=0时,a∞gxdx若收敛,则a∞fxdx也收敛;
当l=∞时,若a∞gxdx发散,则a∞fxdx也发散。
⑵设函数fx及g(x)都是在区(a,b]非负连续函数,
,则
0<
+∞时abfxdx和abgxdx同时收敛或同时发散。
多元函数
①求具体点的偏导数
②几何意义
③求偏导数∂z∂x
④高阶偏导数
⑤偏积分
偏导数
考点
微分
⒈∆z=fxdx+fydy+oρ,ρ=∆x2+∆y2⟹∆z-fxdx-fydy∆x2+∆y2=0
⟹fx,y在0,0点可微
⒉
⟹fx,y在可微
①偏导个数=自变量个数
②项数=中间变量个数
③分线相加,连线相减
④∂z∂x,∂z∂y仍然是x,y的函数
⑤抽象复合函数可以用1,23⋯表示
偏导数的结构
微分方程
⒈二阶线性微分方程特解的求法
令,则;
于是
令,则
有如下重要性质(注:
表示微分,表示积分)
当时,
②
当时,
③
④
其中为1除以按升幂排列所得商式,其的最高次数为右边多项式的最高次数。
1除以的运算如下
1
其中
一阶线性微分方程组的解法
⒈齐次微分方程组
解题程序:
⑴引入微分算子则①⟹
⑵令,则满足
求解(或);
⑶将求出的代入方程①中的第一个方程,求出(或第二个方程求出)
注:
求出其中一个解,再求另一个解时,宜用代数法,不要用积分法。
⑵非齐次微分方程组的解法
方程③的通解=对应的齐次方程①的通解+非齐次方程③的一个特解。
y
一个重要关系
o
x
其中表示极径与点切线间的夹角。
概率论
常用知识
分组
⒈有序分组
个元素分成共组,其个数分别为,则分组方法的总数为
⒉无序分组
个元素分成个组,其中各组的元素为,各组的元素为个,…,各组的元素为个,则分组方法的总数为
函数
⒈定义
⒉性质
①,
②为正整数时:
③
参数的置信区间
⒈已知
,置信区间为
⒉未知
参数的置信区间(未知)
微积分常用公式
a3-b3=a-b(a2+ab+b2)
an-bn=a-ban-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1,n∈Z+
sin+sin=2sincossin-sin=2cossin
cos+cos=2coscos
cos-cos=2sinsin
16
导数部分
⒈C'
=0
⒉xα'
=xα-1
⒊sinx'
=cosx
⒋cosx'
=-sinx
⒌tanx'
=sec2x
⒍(cotx)'
=-csc2x
⒎secx'
=secxtanx
⒏cscx'
=-cscxcotx
⒐ax'
=axlna
⒑ex'
=ex
⒒(logax)'
=1xlogae
⒓l