高数上册知识点Word格式文档下载.doc
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2、极限存在准则
1)夹逼准则:
1)
2)
2)单调有界准则:
单调有界数列必有极限.
3、无穷小(大)量
1)定义:
若则称为无穷小量;
若则称为无穷大量.
2)无穷小的阶:
高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小
Th1;
Th2(无穷小代换)
4、求极限的方法
1)单调有界准则;
2)夹逼准则;
3)极限运算准则及函数连续性;
4)两个重要极限:
a)b)
5)无穷小代换:
()
a)
b)
c)()
d)()
e)
二、导数与微分
(一)导数
1、定义:
左导数:
右导数:
函数在点可导
2、几何意义:
为曲线在点处的切线的斜率.
3、可导与连续的关系:
在点可导在点连续
4、求导的方法
1)导数定义;
2)基本公式;
3)四则运算;
4)复合函数求导(链式法则);
5)隐函数求导数;
6)参数方程求导;
7)对数求导法.
5、高阶导数
2)Leibniz公式:
(二)微分
,其中与无关.
2)可微与可导的关系:
可微可导,且
三、微分中值定理与导数的应用
(一)中值定理
1、Rolle定理:
若函数满足:
1);
2);
3);
则.
2、Lagrange中值定理:
3、Cauchy中值定理:
2);
3)
则
(二)洛必达法则
(三)Taylor公式
阶Taylor公式:
在与之间.
当时,成为阶麦克劳林公式:
常见函数的麦克劳林公式:
在与之间,;
2)
4)
在与之间,
5)
,
在与之间,.
(四)单调性及极值
1、单调性判别法:
,,则若,则单调增加;
则若,则单调减少.
2、极值及其判定定理:
a)必要条件:
在可导,若为的极值点,则.
b)第一充分条件:
在的邻域内可导,且,则①若当时,,当时,,则为极大值点;
②若当时,,当时,,则为极小值点;
③若在的两侧不变号,则不是极值点.
c)第二充分条件:
在处二阶可导,且,,则
①若,则为极大值点;
②若,则为极小值点.
3、凹凸性及其判断,拐点
1)在区间I上连续,若,则称在区间I上的图形是凹的;
若,则称在区间I上的图形是凸的.
2)判定定理:
在上连续,在上有一阶、二阶导数,则
a)若,则在上的图形是凹的;
b)若,则在上的图形是凸的.
3)拐点:
设在区间I上连续,是的内点,如果曲线经过点时,曲线的凹凸性改变了,则称点为曲线的拐点.
(五)不等式证明
1、利用微分中值定理;
2、利用函数单调性;
3、利用极值(最值).
(六)方程根的讨论
1、连续函数的介值定理;
2、Rolle定理;
3、函数的单调性;
4、极值、最值;
5、凹凸性.
(七)渐近线
1、铅直渐近线:
,则为一条铅直渐近线;
2、水平渐近线:
,则为一条水平渐近线;
3、斜渐近线:
存在,则为一条斜
渐近线.
(八)图形描绘
步骤:
1.确定函数的定义域,并考察其对称性及周期性;
2.求并求出及为零和不存在的点;
3.列表判别函数的增减及曲线的凹向,求出极值和拐点;
4.求渐近线;
5.确定某些特殊点,描绘函数图形.
四、不定积分
(一)概念和性质
1、原函数:
在区间I上,若函数可导,且,则称为的一个原函数.
2、不定积分:
在区间I上,函数的带有任意常数的原函数称为在区间I上的不定积分.
3、基本积分表(P188,13个公式);
4、性质(线性性).
(二)换元积分法
1、第一类换元法(凑微分):
2、第二类换元法(变量代换):
(三)分部积分法:
(四)有理函数积分
1、“拆”;
2、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等).
五、定积分
(一)概念与性质:
2、性质:
(7条)
性质7(积分中值定理)函数在区间上连续,则,使(平均值:
)
(二)微积分基本公式(N—L公式)
1、变上限积分:
设,则
推广:
2、N—L公式:
若为的一个原函数,则
(三)换元法和分部积分
1、换元法:
2、分部积分法:
(四)反常积分
1、无穷积分:
2、瑕积分:
(a为瑕点)
(b为瑕点)
两个重要的反常积分:
1)
2)
六、定积分的应用
(一)平面图形的面积
1、直角坐标:
2、极坐标:
(二)体积
1、旋转体体积:
a)曲边梯形轴,绕轴旋转而成的旋转体的体积:
b)曲边梯形轴,绕轴旋转而成的旋转体的体积:
(柱壳法)
2、平行截面面积已知的立体:
(三)弧长
2、参数方程:
3、极坐标:
七、微分方程
(一)概念
1、微分方程:
表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.
阶:
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.
2、解:
使微分方程成为恒等式的函数.
通解:
方程的解中含有任意的常数,且常数的个数与微分方程的阶数相同.
特解:
确定了通解中的任意常数后得到的解.
(二)变量可分离的方程
,两边积分
(三)齐次型方程
,设,则;
或,设,则
(四)一阶线性微分方程
用常数变易法或用公式:
(五)可降阶的高阶微分方程
1、,两边积分次;
2、(不显含有),令,则;
3、(不显含有),令,则
(六)线性微分方程解的结构
1、是齐次线性方程的解,则也是;
2、是齐次线性方程的线性无关的特解,则是方程的通解;
3、为非齐次方程的通解,其中为对应齐次方程的线性无关的解,非齐次方程的特解.
(七)常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程:
特征方程:
,特征根:
特征根
通解
实根
(八)常系数非齐次线性微分方程
1、
设特解,其中
2、
设特解,
其中,
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