西工大高数答案曲线积分与曲面积分Word文档格式.doc
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图10.1
：
.
从而
=++
=
==.
4.计算,其中为曲线.
解1的参数方程为：
.计算出,于是
==
==8.
解2在极坐标系下,:
.计算出=,于是===8.
5.求空间曲线,,的弧长.
解
=
=,
从而.
6.有一铁丝成半圆形,,,其上每一点处的密度等于该点的纵坐标,求铁丝的质量.
解==.
====.
7.计算,其中为球面与平面的交线.
解由于与对,,都具有轮换对称性,故
==,==.
于是
=
====.
其中为圆周的周长,显然平面过球面
的球心,所以为该球面上的大圆,即半径为,故周长为.又因为
==0,
所以
=.
第二节第二类曲线积分
1.计算,其中为圆周（按逆时针方向绕行）.
解:
由0到,
=
==.
2.计算,其中是抛物线上从点到点的一段弧.
解===.
3.计算,其中为摆线
图10.2
上对应从0到的一段弧（图10.2）.
解=
=
==.
4.计算,其中为上半椭圆
从点到点的一段弧.
解由可得,,代入积分式,得
=
==2.
5.计算,其中是从点到点的直线段.
解的点向式方程为：
从而得参数方程为
,,由0到1.
=
==32.
6.计算,其中为有向闭折线,这里的,,依次为点,,.
解如图10.3,:
,由0到1.
==;
:
,由0到1;
图10.3
==1,
故===.
7.有一质量为的质点,除受重力的作用外,还受到一个大小等于该质点到原点的距离,方向指向原点的力的作用,设该质点沿螺旋线,,从点移动到点移动到点,求重力与力的合力所作的功.
解依据题意,力=,故质点所受的合力
在螺旋线上,起点对应于,终点对应于,即.
因此,力所作的功
=
==.
第三节格林公式
1.设平面上闭曲线所围成的闭区域为,将给定的二重积分与其相应的曲线积分用线连接起来.
（1）（a）
（2）2（b）
（3）（c）
2.利用曲线积分计算星形线,所
围成图形的面积.
图10.4
解如图10.4，因为由到.
从而
==
=
==.
3.证明只与的起始点有关,而与所取路径无关,并计算积分.
解,,,所以积分与路径无关,故
==
=.
或者
=
===.
4.计算,
其中为从到的正弦曲线.
解如图10.5所示,由格林公式
图10.5
=
==
===.
其中
==
=
=.
移项解之,得.
注意本题易犯两个错误：
（1）==.
产生错误的原因是,没有注意格林公式使用时的条件：
其中是的取正向的边界曲线.而本题的闭曲线是的取负向的边界曲线,所以二重积分前面必须添加负号.
（2）计算定积分是连续两次使用部分积分法后移项解出来的.对此积分有些同学束手无策,有些则在连续使用分布积分法时,每次选取函数,不注意必须是同类函数（如选三角函数作为就一直选三角函数,如选作为就一直选）,结果就出现了恒等式,即前进一步又倒退一步,致使积不出来.
5.已知连续,且,,,计算
其中是以线段为直径的上半圆周.
解如图10.6所示
图10.6
=
==.
本题需注意两点：
（1）同上题一样,使用格林公式时要注意边界曲线的方向,本题因是负向,故二重积分前必须添上负号;
（2）因是抽象函数,不可能直接将积出来,请不要先急
于积分,先用分布积分法将表示为,则两项抽象函数的定积分就抵消了,问题就可得到解决,因此在解题过程中一定要善于思考,从中
发现解题技巧.
6.证明在右半平面内为某一函数的全微分,并求出一个这样的函数.
解,,由于,所以
为某一函数的全微分.取定点,对于右半平面上任一点,令
=.
7.已知曲线积分,其中为圆周,取逆时针方向,求的值,使得对应曲线积分的值最大.
解显然,在区域内有一阶连续的偏导数,由格林公式
===
==
==.
令,解得（依题意设，故将和舍去）,因为是在内唯一的驻点,且
=,
故在处取得最大值,因此,即当积分路径为时,对应曲线积分
的值最大.
8.求,其中
（1）为圆周的正向;
（2）为椭圆的正向.
解令,,则当时,有,
记所围成的闭区域为,
（1）:
此时,（如图10.7（a）所示）.
图10.7（b）
图10.7（a）
由于,由格林公式,.
（2）:
即,此时,以为圆心,以充分小的为半径作圆周,由0到,取逆时针方向（如图10.7（b）所示）.
记和所围成的闭区域为,对复连通区域应用格林公式,得
从而
注意
（2）中由于点位于所围成的闭区域内,需用复连通域上的格林公式,以避开点,考虑到被积函数的分母为,故取圆周,有同学不考虑“洞”,即点,直接用格林公式,得到是错误的.
9.求,其中、为正常数,为从点沿曲线到点的弧.
解添加从点沿到点的有向直线段,则
==
第四节第一类曲面积分
1.设有一分布着质量的曲面,在点处它的面密度为.用曲面积分表示：
（1）这曲面的面积=;
（2）这曲面的质量=;
（3）这曲面的重心坐标为=,=,=;
（4）这曲面对于轴,轴,轴及原点的转动惯量
=,=,=,=.
解
（1）=.
（2）=.
（3）=,=,=.
（4）=,=,
=,=.
3
4
2.计算,其中为平面在第一卦限中的部分.
解如图10.8所示，:
,,
=,
在积分曲面上,被积函数=,
图10.8
3.计算,其中是锥面
及平面所围成的区域的整个边界曲面.
解如图10.9所示,
图10.9
=,.
4.计算=,其中为锥面被柱面所截成的部分.
解因为积分曲面关于坐标面（即平面）对称,是关于的奇函数,所以
=＝
此外,在上,,,且在面上的投影为
因此
＝＝＝
＝＝
＝＝．
5.计算,其中为抛物面
在面上方的部分.
解如图10.10所示,
图10.10
=,
6.计算,其中为球面上的部分.
解在面上的投影为圆域：
==,
故=
由积分区域的对称性可得：
=0，=0,
又积分区域的面积为,故
7.求柱面在球面内部的部分的表面积.
解由对称性,所求面积为其位于第一卦限部分面积的4倍,即,其中曲面为,求得面积元素
=,
由,消去,得,由此得在坐标面上的投影为:
,
因此,曲面的面积
=
8.设为椭球面的上半部分,点,为在点处的切平面,为点到平面的距离,求
解设为上任意一点,则的方程为,从而知
由,有=,=
==,
=
=.
第五节第二类曲面积分
1.当是面内的一个闭区域时,与二重积分的关系为
（1）=,
（2）=.
解
（1）,
（2）.
注意因第一类曲面积分与所给曲面的侧无关,所以
（1）中应填;
而第二类曲面积分与曲面的侧有关,所以
（2）中应填,有个别同学常疏忽这一点,只填,这是不对的.
2.计算,其中为半球面的上侧.
解记:
取前侧,:
取后侧,与在面的投影区域相同,记为.
=+
==0.
同理=0,
而===.
=++
=0+0+=.
注意常见的错误是：
=+=
或=.
产生错误的原因是忽视了将第二类曲面积分化为二重积分时,应根据积分曲面的侧选择二重积分前的正、负号.
=,
=.
将第二类曲面积分化为二重积分时,究竟什么时候二重积分前面写正号,什么时候写负号,这与所给曲面的侧有关.切记：
上侧取正,下侧取负;
前侧取正,后侧取负;
右侧取正,左侧取负;
3.计算,其中是平面,,,所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.
解如图10.11所示,,其中各自对应于四面体的一个表面,可表示为
:
下侧;
:
左侧;
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