概率论与数理统计第四版课后习题答案文档格式.docx
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(解唯一)故为极大似然估计量。
(5),
解得,(解唯一)故为极大似然估计量。
4.[四
(2)]设X1,X1,…,Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本,试求λ的极大似然估计量及矩估计量。
(1)矩估计X~π(λ),E(X)=λ,故=为矩估计量。
(2)极大似然估计,
为极大似然估计量。
(其中
5.[六]一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分,随机地自该地区取100个样品,每个样品有10块石子,记录了每个样品中属石灰石的石子数。
假设这100次观察相互独立,并由过去经验知,它们都服从参数为n=10,P的二项分布。
P是该地区一块石子是石灰石的概率。
求p的极大似然估计值,该地质学家所得的数据如下
样品中属石灰石的石子数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
观察到石灰石的样品个数
23
26
21
12
λ的极大似然估计值为==0.499
[四
(1)]设总体X具有分布律
X
Pk
θ2
2θ(1-θ)
(1-θ)2
其中θ(0<
θ<
1)为未知参数。
已知取得了样本值x1=1,x2=2,x3=1,试求θ的矩估计值和最大似然估计值。
(1)求θ的矩估计值
则得到θ的矩估计值为
(2)求θ的最大似然估计值
似然函数
lnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1-θ)
求导
得到唯一解为
8.[九
(1)]设总体X~N(μ,σ2),X1,X1,…,Xn是来自X的一个样本。
试确定常数c使的无偏估计。
由于
=
当。
[十]设X1,X2,X3,X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本,其中θ未知,设有估计量
(1)指出T1,T2,T3哪几个是θ的无偏估计量;
(2)在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。
(1)由于Xi服从均值为θ的指数分布,所以
E(Xi)=θ,D(Xi)=θ2,i=1,2,3,4
由数学期望的性质2°
,3°
有
即T1,T2是θ的无偏估计量
(2)由方差的性质2°
并注意到X1,X2,X3,X4独立,知
D(T1)>
D(T2)
所以T2较为有效。
14.[十四]设某种清漆的9个样品,其干燥时间(以小时计)分别为6.05.75.86.57.06.35.66.15.0。
设干燥时间总体服从正态分布N~(μ,σ2),求μ的置信度为0.95的置信区间。
(1)若由以往经验知σ=0.6(小时)
(2)若σ为未知。
(1)μ的置信度为0.95的置信区间为(),
计算得
(2)μ的置信度为0.95的置信区间为(),计算得,查表t0.025(8)=2.3060.
16.[十六]随机地取某种炮弹9发做试验,得炮弹口速度的样本标准差为s=11(m/s)。
设炮口速度服从正态分布。
求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。
σ的置信度为0.95的置信区间为
其中α=0.05,n=9
查表知
19.[十九]研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。
设两者都服从正态分布,并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s,取样本容量为n1=n2=20.得燃烧率的样本均值分别为设两样本独立,求两燃烧率总体均值差μ1-μ2的置信度为0.99的置信区间。
μ1-μ2的置信度为0.99的置信区间为
其中α=0.01,z0.005=2.58,n1=n2=20,
20.[二十]设两位化验员A,B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定,其测定值的样本方差依次为分别为A,B所测定的测定值总体的方差,设总体均为正态的。
设两样本独立,求方差比的置信度为0.95的置信区间。
的置信度为0.95的置信区间
=(0.222,3.601).
其中n1=n2=10,α=0.05,F0.025(9,9)=4.03,。
第八章假设检验
1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量,经测定为(%)3.253.273.243.263.24。
设测定值总体服从正态分布,问在α=0.01下能否接受假设:
这批矿砂的含镍量的均值为3.25.
设测定值总体X~N(μ,σ2),μ,σ2均未知
步骤:
(1)提出假设检验H:
μ=3.25;
H1:
μ≠3.25
(2)选取检验统计量为
(3)H的拒绝域为|t|≥
(4)n=5,α=0.01,由计算知
查表t0.005(4)=4.6041,
(5)故在α=0.01下,接受假设H0
2.[二]如果一个矩形的宽度ω与长度l的比,这样的矩形称为黄金矩形。
这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。
现代建筑构件(如窗架)、
工艺品(如图片镜框)、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。
下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。
设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布,其均值为μ,试检验假设(取α=0.05)
H0:
μ=0.618H1:
μ≠0.618
0.6930.7490.6540.6700.6620.6720.6150.6060.6900.6280.668
0.6110.6060.6090.6010.5530.5700.8440.5760.933.
(1)H0:
μ=0.618;
(3)H0的拒绝域为|t|≥
(4)n=20α=0.05,计算知
,
(5)故在α=0.05下,接受H0,认为这批矩形的宽度和长度的比值为0.618
3.[三]要求一种元件使用寿命不得低于1000小时,今从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命的平均值为950小时,已知这种元件寿命服从标准差为σ=100小时的正态分布。
试在显著水平α=0.05下确定这批元件是否合格?
设总体均值为μ。
即需检验假设H0:
μ≥1000,H1:
μ<
1000。
(1)μ≥1000;
H1:
1000;
(σ=100已知)
(2)H0的拒绝域为
(3)n=25,α=0.05,,
计算知
(4)故在α=0.05下,拒绝H0,即认为这批元件不合格。
12.[十一]一个小学校长在报纸上看到这样的报导:
“这一城市的初中学生平均每周看8小时电视”。
她认为她所领导的学校,学生看电视的时间明显小于该数字。
为此她向100个学生作了调查,得知平均每周看电视的时间小时,样本标准差为s=2小时。
问是否可以认为这位校长的看法是对的?
取α=0.05。
(注:
这是大样本检验问题。
由中心极限定理和斯鲁茨基定理知道不管总体服从什么分布,只要方差存在,当n充分
大时近似地服从正态分布。
)
(1)提出假设H0:
μ≤8;
μ>
(2)当n充分大时,近似地服从N(0,1)分布
(3)H0的拒绝域近似为≥zα
(4)n=100,α=0.05,,S=2,由计算知
(5)故在α=0.05下,拒绝H0,即认为校长的看法是不对的。
14.[十三]某种导线,要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆)。
今在生产的一批导线中取样品9根,测得s=0.007(欧姆),设总体为正态分布。
问在水平α=0.05能否认为这批导线的标准差显著地偏大?
(1)提出H0:
σ≤0.005;
σ>
0.005
(3)n=9,α=0.05,S=0.007,由计算知
查表
(4)故在α=0.05下,拒绝H0,认为这批导线的标准差显著地偏大。
15.[十四]在题2中记总体的标准差为σ。
试检验假设(取α=0.05)
σ2=0.112,H1:
σ2≠0.112。
步骤
(1)H0:
σ2=0.112;
σ2≠0.112
(3)H0的拒绝域为
(4)n=20,α=0.05,由计算知S2=0.09252,
查表知
(5)故在α=0.05,接受H0,认为总体的标准差σ为0.11.
16.[十五]测定某种溶液中的水份,它的10个测定值给出s=0.037%,设测定值总体为正态分布,σ2为总体方差。
试在水平α=0.05下检验假设H0:
σ≥0.04%;
σ<
0.04%。
σ2≥(0.04%)2;
σ2<
(0.04%)2
(3)n=10,α=0.05,S=0.037%,查表知
由计算知
(4)故在α=0.05下,接受H0,认为σ大于0.04%
17.[十六]在第6[五]题中分别记两个总体的方差为。
试检验假设(取α=0.05)H0:
以说在第6[五]题中我们假设是合理的。
(2)选取检验统计量为
(4)n1=8,n2=10,α=0.05,查表知F0.025(7,9)=4.20
F0.975(7,9)<
F<
F0.025(7,9)
(5)故在α=0.05下,接受H0,认为
18.[十七]在第8题[七]中分别记两个总体的方差为。
以说明在第8[七]题中我们假设是合理的。
(2)选取检验统计量
(3)n1=n2=12,α=0.05,查表知
F0.025(11,11)=3.34,
(4)故在α=0.05下,接受H0,认为
24.[二十三]检查了一本书的100页,记录各页中印刷错误的个数,其结果为
错误个数fi
≥7
含fi个错误的页数
36
40
19
问能否认为一页的印刷错误个数服从泊松分布(取α=0.05)。
总体X~π(λ);
X不服从泊松布;
(λ未知)
(2)当H0成立时,λ的最大似然估计为
(4)n=100
对于j>
3,
将其合并得
合并后,K=4,Y=1
(5)故在α=0.05下,接受H0,认为一页的印刷错误个数服从泊松分布。
.