最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案文档格式.doc

最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案文档格式.doc

《最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案文档格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案文档格式.doc（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

将，，代入可得

2－8设泛函

端点固定，端点可沿空间曲线

移动。

试证：

当泛函取极值时，横截条件为

证：

根据题意可知，此题属于起点固定，末端受约束情况，由

可得，

（1）

由c=,

（2）

将

（2）代入

（1）式，得：

得证。

2-13设系统状态方程

性能指标如下：

要求达到，试求

（1）时的最优控制。

（2）自由时的最优控制。

由题可知

构造H：

正则方程：

可求得

控制方程：

由上式可得

由状态方程，可得

（1）时

由边界条件，，，可得

得

故有

有最优控制

（2）若自由

由哈密顿函数在最优轨线末端应满足的条件

得

即，从而，代入可得

因为时间总为正值，所以此题无解。

3-2设二阶系统的状态方程边界条件试求下列性

能指标的极小值：

构造H：

由协态方程和极值条件：

得代入状态方程得：

即，代入初始条件解得：

故，

此时

3-4给定一阶系统方程

控制约束为，试求使下列性能指标：

为极小值的最优控制及相应的最优轨线。

哈密顿函数达到极小值就相当于使性能指标极小，因此要求极小。

且取其约束条件的边界值，即时，使哈密顿函数H达到最小值。

所以，最优控制应取

由协态方程可得

由横截条件求得，于是有

显然，当时，产生切换，其中为切换时间。

不难求得，故最优控制为

将代入状态方程，得

解得

代入初始条件，可得，因而

在上式中，令，可求出时的初始条件

从而求得。

因而

于是，最优轨线为

将求得的和代入式J，得最优性能指标

最优解曲线如下：

3-5控制系统，试求最优控制,以及最优轨线和,使性能指标为极小值。

哈密尔顿函数为

由协态方程：

，解得，

由极值条件：

，解得，由状态方程有，解得，

代入初始值解得：

，故

…………………………………………………………………………………………………..

3－6已知二阶系统方程式中自由。

试求使性能指标为极小的最优控制，最优轨线以及最优指标。

本例为线性定常系统，积分型性能指标，自由，末端固定的最优化问题。

构造哈密顿函数为：

由极小值条件应取：

由哈密顿函数沿最优轨线的变化律：

，可得：

即：

，可知：

，（其中矛盾），

由协态方程有：

，由初始条件解得：

，由所给状态方程及初始条件解得：

………………………………………………………………………………………………………

3-7已知二阶系统方程

，

式中控制约束为

试确定最优控制。

将系统在时刻由转移到空间原点，并使性能指标

取最小值，其中自由。

构造哈密顿函数：

按照最小值原理，最优控制应取

由哈密顿函数沿最优轨线的变化规律可得

以及

因为，可以求出

由协态方程

解得，

当时（试取）

代入初始条件，，可得

代入末端条件，可得

又，联立解得

于是有

在时，正好满足要求

故最优控制为，

相应的最优性能指标为

最优轨线为

3-17已知系统方程，，性能指标，末端。

试用连续极小值原理求最优控制与最优轨迹。

，由协态方程：

，解得：

，由极值条件：

，解得，代入状态方程有：

，解得，代入初始值解得：

，故最优轨线为：

，又，所以最优控制律为：

，

3-28已知系统的状态方程，控制约束为|u（t）|1。

试求最优控制u*（t），使系统由任意初态最快地转移到，的末态。

写出开关曲线方程，并绘出开关曲线的图形。

本例为二次积分模型的最小时间控制问题。

容易判定系统可控，因而必为Bang-Bang控制。

构造哈密顿函数:

由协态方程得：

解得：

。

，知最优控制u（t）最多切换一次，具有四种可能：

【+1】，【-1】，【+1，-1】，【-1，+1】。

①若时，代入状态方程考虑到初始状态，解得：

，消t得：

②同理，若时，解得：

，由末态配置到，取开关曲线为过（2,1）的那条曲线，即开关曲线方程为：

开关曲线图如下：

开关曲线

3-31设二阶系统：

，控制约束|u（t）|1。

试求使系统由已知初态最快地转移到坐标原点的时间最优控制u*（t）和开关曲线。

（注：

本题书上的是错的，因为按书上的得不到相平面轨迹方程）

知最优控制：

，即开关曲线方程为：

本题初始点A（1，1）,最优控制曲线如上图，最优控制律为u={-1，+1}。

3-33已知受控系统，目标集为，试求由目标集外的任意初态转移到目标集的时间最优控制律。

哈密尔顿函数为，协态方程，边界条件：

目标集约束：

由极小值条件知，最优控制律：

①若时，代入状态方程，解得：

消t得相轨迹方程：

；

由相轨迹方程与目标集相切且满足末态要求的相轨迹曲线：

，，所以系统的开关曲线开关曲线图如下所示：

相轨迹如上图所示：

ⅰ、当初态在区域或上时，知最优控制为终于上半圆；

ⅱ、当初态在区域或上时，知最优控制为终于下半圆；

ⅲ、当初态在区域中，知最优控制为；

ⅳ、当初态在区域中，知最优控制为；

3-42已知系统方程

，控制约束|u（t）|1。

试求以切换时间表示的时间-燃料最优控制u*（t），使性能指标取极小值，并求最优控制J*。

哈密顿函数为：

由，解得：

由极小值条件知：

，因为初态=知

时间—燃料最优控制为：

，设的切换时间为和，则有

①当时，有u=-1，初态=，由状态方程得：

②当时，u=0，初态为：

，由状态方程解得：

。

③当时，u=+1，初态为：

末态值求得，，于是时间—燃料最优控制为：

从而有。

4-4设二阶离散系统

试求使性能指标：

为极小的最优控制和最优轨线。

本题为二级最优决策问题，其中、不受约束。

①令N=2，k=1时：

=0，所以

由于不受约束：

，求得：

将结果代入得：

②令N=1，k=0时：

，=0，所以=

，代入初始值，

求得：

，，，

，，，

于是本题的最优控制，最优轨线及最优代价分别为：

，，，，

4-13已知二阶系统，，性能指标：

试用连续动态规划求最优控制和最优轨线。

（1）由题意可得：

，，，，

令,得，显然{A，b}可控，{A，D}可观，故存在且唯一。

令，代入黎卡提方程：

代入A,b，Q，r可得:

于是最优控制：

最优控制指标:

将代入状态方程，得闭环系统方程：

将、代入状态反馈的最优控制，求得：

4-14已知系统方程：

，性能指标：

，试确定该系统的哈密顿-雅可比方程。

令哈密顿函数为：

由于不受约束，则，

由最优解的充分条件知：

代入，得：

因为系统是时不变的，并且性能指标的被积函数不是时间的显函数，故，

则有。

在性能指标中，令，得边界条件：

所以本题的哈密顿—雅可比方程为：

5-8给下列二阶系统：

，试确定最优控制，使下列性能指标极小：

该题为有限时间状态调节器问题。

由题意得：

代入A,b，Q，r，边界条件：

,即：

最优性能指标:

5-10已知系统的状态方程：

，性能指标极小：

该题为无限时间状态调节器问题。

，令,得，，，故{A，b}可控，{A，D}可观，故存在且唯一。

代入A,B，Q，R解得：

5-20已知为具有性质的李亚普诺夫函数。

其中，满足式。

试用李亚普诺夫稳定性定理证明最优闭环系统是渐近稳定的。

证明：

取二次型函数：

，对于由于>

0必有。

所以李亚普诺夫函数。

，将代入，整理得：

=，

又由，知，代入整理得：

，即：

所以知，为负定。

又显然。

根据李亚普诺夫稳定性定理，最优闭环系统大范围渐近稳定。

6-2设有二次积分模型：

，，性能指标：

试求使性能指标极小的最优控制，并求最优性能指标。

解:

由题意可知：

，，，Q=1，

，，R=4。

因为rank[BAB]=rank=2，rank=rank=2

rank=rank=2,

所以，{A,B}可控，{A,C}可观，{A,D}可观，故可以构造渐近稳定的最优输出调节器。

设，解黎卡提代数方程：

得：

得>

0，

此时：

最优性能指标：

6-3已知系统的动态方程：

试求使性能指标极小并使闭环系统渐近稳定的最优控制。

，，，Q=100，

，，R=1。

=，将代入状态方程得：

解得闭环系统特征值为：

所以闭环系统是渐近稳定的。

………………………………………………………………………………………………………..

6-10设用控制系统可以自动地保持潜艇的深度，潜艇从艇尾水平角到实际深度的传递函数，可以近似为：

，试设计控制律，使性能指标

最小。

其中希望深度=100。

假定，实际深度可用压力传感器测量，并可用于反馈。