因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)Word文件下载.doc
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三、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:
分析:
从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。
原式=
=每组之间还有公因式!
=
例2、分解因式:
解法一:
第一、二项为一组;
解法二:
第一、四项为一组;
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
原式=原式=
==
==
练习:
分解因式1、2、
(二)分组后能直接运用公式
例3、分解因式:
若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。
解:
原式=
=
例4、分解因式:
分解因式3、4、
综合练习:
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)(8)
(9)(10)
(11)(12)
四、十字相乘法.
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
特点:
(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)一次项系数是常数项的两因数的和。
思考:
十字相乘有什么基本规律?
例.已知0<≤5,且为整数,若能用十字相乘法分解因式,求符合条件的.
解析:
凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求>
0而且是一个完全平方数。
于是为完全平方数,
例5、分解因式:
将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。
由于6=2×
3=(-2)×
(-3)=1×
6=(-1)×
(-6),从中可以发现只有2×
3的分解适合,即2+3=5。
12
=13
=1×
2+1×
3=5
用此方法进行分解的关键:
将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式:
原式=1-1
=1-6
(-1)+(-6)=-7
练习5、分解因式
(1)
(2)(3)
练习6、分解因式
(1)
(2)(3)
(二)二次项系数不为1的二次三项式——
条件:
(1)
(2)
(3)
分解结果:
=
例7、分解因式:
1-2
3-5
(-6)+(-5)=-11
练习7、分解因式:
(1)
(2)
(3)(4)
(三)二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式:
将看成常数,把原多项式看成关于的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。
18b
1-16b
8b+(-16b)=-8b
=
练习8、分解因式
(1)
(2)(3)
(四)二次项系数不为1的齐次多项式
例9、例10、
1-2y把看作一个整体1-1
2-3y1-2
(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3
原式=解:
练习9、分解因式:
(1)
(2)
综合练习10、
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)(8)
(9)(10)
分解因式:
五、换元法。
例13、分解因式
(1)
(2)
(1)设2005=,则原式=
(2)型如的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=
设,则
∴原式==
==
练习13、分解因式
(1)
(2)
(3)
例14、分解因式
(1)
观察:
此多项式的特点——是关于的降幂排列,每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”。
方法:
提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法。
原式==
=
(2)
设,则
∴原式==
==
练习14、
(1)
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式
(1)
解法1——拆项。
解法2——添项。
原式=原式=
======
==
练习15、分解因式
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
七、待定系数法。
例16、分解因式
原式的前3项可以分为,则原多项式必定可分为
设=
∵=
∴=
对比左右两边相同项的系数可得,解得
∴原式=
例17、
(1)当为何值时,多项式能分解因式,并分解此多项式。
(2)如果有两个因式为和,求的值。
(1)分析:
前两项可以分解为,故此多项式分解的形式必为
则=
比较对应的系数可得:
,解得:
或
∴当时,原多项式可以分解;
当时,原式=;
当时,原式=
(2)分析:
是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如的一次二项式。
则=
∴解得,
∴=21
练习17、
(1)分解因式
(2)分解因式
(3)已知:
能分解成两个一次因式之积,求常数并且分解因式。
(4)为何值时,能分解成两个一次因式的乘积,并分解此多项式。
第二部分:
习题大全
经典一:
一、填空题
1.把一个多项式化成几个整式的_______的形式,叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式:
m3-4m=.
3.分解因式:
x2-4y2=_______.
4、分解因式:
=_________________。
5.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y),则n的值为.
6、若,则=_________,=__________。
二、选择题
7、多项式的公因式是()
A、B、C、D、
8、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()
A、B、
C、D、
10.下列多项式能分解因式的是()
(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+4
11.把(x-y)2-(y-x)分解因式为()
A.(x-y)(x-y-1)B.(y-x)(x-y-1)
C.(y-x)(y-x-1)D.(y-x)(y-x+1)
12.下列各个分解因式中正确的是()
A.10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c)
B.(a-b)2-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)
C.x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b-c=(b+c-a)(x+y-1)
D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(11b-2a)
13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式,那么k应为()
A.2B.4C.2y2D.4y2
三、把下列各式分解因式:
14、15、
16、17、
18、19、;
五、解答题
20、如图,