三角形中考压轴题精选教学内容Word格式.docx
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(1)操作发现
如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:
①线段DE与AC的位置关系是 ;
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是 .
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想
(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°
,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.
5.(2013•常德)已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC,Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°
,连接AF,M是AF的中点,连接MB、ME.
(1)如图1,当CB与CE在同一直线上时,求证:
MB∥CF;
(2)如图1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长;
(3)如图2,当∠BCE=45°
时,求证:
BM=ME.
2015年07月04日菜的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共3小题)
1.(2014•山西)如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为( )
A.
a2
B.
C.
D.
考点:
全等三角形的判定与性质;
正方形的性质.菁优网版权所有
专题:
几何图形问题;
压轴题.
分析:
过E作EP⊥BC于点P,EQ⊥CD于点Q,△EPM≌△EQN,利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解.
解答:
解:
过E作EP⊥BC于点P,EQ⊥CD于点Q,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°
又∵∠EPM=∠EQN=90°
∴∠PEQ=90°
∴∠PEM+∠MEQ=90°
∵三角形FEG是直角三角形,
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°
∴∠PEM=∠NEQ,
∵AC是∠BCD的角平分线,∠EPC=∠EQC=90°
∴EP=EQ,四边形PCQE是正方形,
在△EPM和△EQN中,
∴△EPM≌△EQN(ASA)
∴S△EQN=S△EPM,
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积,
∵正方形ABCD的边长为a,
∴AC=a,
∵EC=2AE,
∴EC=a,
∴EP=PC=a,
∴正方形PCQE的面积=a×
a=a2,
∴四边形EMCN的面积=a2,
故选:
点评:
本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质,解题的关键是作出辅助线,证出△EPM≌△EQN.
2.(2014•武汉模拟)如图∠A=∠ABC=∠C=45°
,E、F分别是AB、BC的中点,则下列结论,①EF⊥BD,②EF=BD,③∠ADC=∠BEF+∠BFE,④AD=DC,其中正确的是( )
①②③④
①②③
①②④
②③④
三角形中位线定理;
全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有
根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”同时利用三角形的全等性质求解.
如下图所示:
连接AC,延长BD交AC于点M,延长AD交BC于Q,延长CD交AB于P.
∵∠ABC=∠C=45°
∴CP⊥AB
∵∠ABC=∠A=45°
∴AQ⊥BC
点D为两条高的交点,所以BM为AC边上的高,即:
BM⊥AC.
由中位线定理可得EF∥AC,EF=AC∴BD⊥EF,故①正确.
∵∠DBQ+∠DCA=45°
,∠DCA+∠CAQ=45°
∴∠DBQ=∠CAQ,
∵∠A=∠ABC,∴AQ=BQ,
∵∠BQD=∠AQC=90°
∴根据以上条件得△AQC≌△BQD,∴BD=AC∴EF=AC,故②正确.
∵∠A=∠ABC=∠C=45°
∴∠DAC+∠DCA=180°
﹣(∠A+∠ABC+∠C)=45°
∴∠ADC=180°
﹣(∠DAC+∠DCA)=135°
=∠BEF+∠BFE=180°
﹣∠ABC
故③∠ADC=∠BEF+∠BFE成立;
无法证明AD=CD,故④错误.
故选B.
本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用.
3.(2013•河北模拟)四边形ABCD中,AC和BD交于点E,若AC平分∠DAB,且AB=AE,AC=AD,有以下四个命题:
①AC⊥BD;
②BC=DE;
③∠DBC=∠DAB;
④AB=BE=AE.其中命题一定成立的是( )
①②
②③
①③
②④
等边三角形的性质.菁优网版权所有
根据等腰三角形的性质,等边三角形的判定,圆内接四边形的性质,全等三角形的性质判断各选项是否正确即可.
∵AB=AE,一个三角形的直角边和斜边一定不相等,∴AC不垂直于BD,①错误;
利用边角边定理可证得△ADE≌△ABC,那么BC=DE,②正确;
由△ADE≌△ABC可得∠ADE=∠ACB,那么A,B,C,D四点共圆,∴∠DBC=∠DAC=∠DAB,③正确;
△ABE不一定是等边三角形,那么④不一定正确;
②③正确,故选B.
此题主要考查了全等三角形的性质,以及直角三角形中斜边最长;
全等三角形的对应边相等;
等边三角形的三边相等.
二.填空题(共6小题)
4.(2015•泰安一模)如图,将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形,再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形,…如此继续下去,结果如下表,则an= 3n+1 (用含n的代数式表示).
所剪次数
1
2
3
4
…
n
正三角形个数
7
10
13
an
压轴题;
规律型.
根据图跟表我们可以看出n代表所剪次数,an代表小正三角形的个数,也可以根据图形找出规律加以求解.
由图可知没剪的时候,有一个三角形,以后每剪一次就多出三个,所以总的个数3n+1.
故答案为:
3n+1.
此题主要考验学生的逻辑思维能力以及应变能力.
5.(2013•宜兴市一模)如图,在△ABC中,AC=BC>AB,点P为△ABC所在平面内一点,且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB,△PBC,△PAC均是等腰三角形,则满足上述条件的所有点P的个数为 6 个.
等腰三角形的判定与性质.菁优网版权所有
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,作出AB的垂直平分线,首先△ABC的外心满足,再根据圆的半径相等,以点C为圆心,以AC长为半径画圆,AB的垂直平分线相交于两点,分别以点A、B为圆心,以AC长为半径画圆,与AB的垂直平分线相交于一点,再分别以点A、B为圆心,以AB长为半径画圆,与⊙C相交于两点,即可得解.
如图所示,作AB的垂直平分线,①△ABC的外心P1为满足条件的一个点,
②以点C为圆心,以AC长为半径画圆,P2、P3为满足条件的点,
③分别以点A、B为圆心,以AC长为半径画圆,P4为满足条件的点,
④分别以点A、B为圆心,以AB长为半径画圆,P5、P6为满足条件的点,
综上所述,满足条件的所有点P的个数为6.
6.
本题考查了等腰三角形的判定与性质,主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,三角形的外心到三个顶点的距离相等,圆的半径相等的性质,作出图形更形象直观.
6.(2013•齐齐哈尔模拟)如图,△ABC是边长为1的等边三角形,取BC的中点E,作ED∥AB,EF∥AC,得到四边形EDAF,它的面积记为S1,取BE的中点E1,作E1D1∥FB,E1F1∥EF.得到四边形E1D1FF1,它的面积记作S2,照此规律,则S2012= .
等边三角形的性质;
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求出△ABC的面积是,求出DE是三角形ABC的中位线,根据相似三角形的性质得出==,求出S△CDE=×
,S△BEF=×
,求出S1=×
,同理S2=×
S△BEF=×
×
,S3=×
S4=×
,推出S2012=×
…×
(2011个),即可得出答案.
∵BC的中点E,ED∥AB,
∴E为BC中点,
∴DE=AB,
∵DE∥AB,
∴△CDE∽△CAB,
∴==()2=,
∵△ABC的面积是×
1×
=
∴S△CDE=×
推理=,
∴S△BEF=×
∴S1=﹣×
﹣×
=×
同理S2=×
S3=×
…,
S2012=×
(2011个),
==,
本题考查了相似三角形的性质和判定,等边三角形的性质的应用,解此题的关键是总结出规律,题目比较好,但是有一定的难度.
7.(2015•和平区模拟)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,如果AE=4,EF=3,AF=5,那么正方形ABCD的面积等于 .
勾股定理的逆定理;
解分式方程;
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根据△ABE∽△ECF,可将AB与BE之间的关系式表示出来,在Rt△ABE中,根据勾股定理AB2+BE2=AC2,可将正方形ABCD的边长AB求出,进而可将正方形ABCD的面积求