中科大12年微积分期末及答案Word文件下载.docx
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原式=-12(cosx)4+c.
(3)sinxdx
=2tsintdt=-2tcost+2costdt=-2tcost+2sint+c=-2xcosx+2sinx+c.
(4)ln(x+x2+1)dx
=xln(x+x2+1)-xx2+1dx=xlnx+x2+1-x2+1+c.
二.20分求下列积分每小题5分
101x2arcsinxdx
=π6-29.
21+∞arctanxx2dx
=π4+12ln2.
3011+3xx2+1x+1dx
=π2-12ln2.
(4)02πcosx(sinx)5dx=0.
三.14分求下面的极限每小题7分
(1)limx→+∞1x4+sinx0x3t31+t2dx=12.
(2)limn→∞k=1nnn2+k2=π4.
四.20分求下面微分方程的通解或初值问题(每小题10分)
1y2-3y/+2y=2x-3.
Y=c1ex+c2e2x+x.
2y2+(y/)2=y/,y0=y/0=1.
用降阶法,令p=y/,dpdy+p=1,解得p=1+ce-y.由初始条件得c=0,从而得p=1,
于是y=x+c,再用初始条件得c=1,所以y=x+1.
五.10分设u是正常数,求曲边梯形D:
0≤y≤ex+e-x2,0≤x≤u,
绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和侧面积。
体积=π8e2u-e-2u+4u,
则面积=π4(u2u-e-2u+4u).
六.6分设fx是区间0,1上的可导函数且满足
f(0)=0和f/x>
0.对于0<
α<
β<
1,求证:
01fxdx>
1-αβ-ααβf(x)dx.
证:
01fxdx=0αfxdx+αβfxdx+β1fxdx>
αβf(x)dx+β1f(x)dx=
=f(ξ)(β-α)+f(η)(1-β)>
(1-β)f(ξ)=1-αβ-ααβfxdx.
0αfxdx+β1fxdx>
1-ββ-ααβfxdx.
其中,上面的运算用到积分中值定理,α<
ξ<
β,β<
η<
1;
最后的不等式是因为
f(x)严格增。
七.10分每小题5分
1设f(x)在(-∞,+∞)上连续,令
gx,y=0x(ft+y-f(t))dt
求证:
g(x,y)=g(y,x).
2求在(-∞,+∞)上连续且满足方程f(x+y)-f(x)-f(:
:
y)=xy及
条件f
(1)=12的函数f(x).
(1)用定积分的变量替换,有
g(x,y)=0xft+ydt-0xftdt=yy+xftdt-0xftdt=
=0x+yftdt-0yftdt-0xftdt.
上式右边关于x,y对称,所以g(x,y)=g(y,x).
(3)令g(x,y)如题中所定义,则有g(x,y)=0xfy+tydt=xfy+12x2y,
因g(x,y)=g(y,x),所以,xf(y)+12x2y=yfx+12y2x,在此式中令y=1,解出
f(x)=12x2+f1-12x.
由定解条件f
(1)=12,代入上式,得f(x)=x22,证毕。
(完)。