一阶偏微分方程基本知识Word文档下载推荐.doc

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将第一式的两端同乘，第二式的两端同乘，然后相加，得到

，

。

这个微分方程关于变量t和是可以分离，因此不难求得其解为

，（1.5）

为积分常数。

（1.5）叫做（1.4）的首次积分。

注意首次积分（1.5）的左端作为x，y，和t的函数并不等于常数；

从上面的推导可见，当时微分方程组（1.4）的解时，才等于常数，这里的常数应随解而异。

因为式（1.4）是一个二阶方程组，一个首次积分（1.5）不足以确定它的解。

为了确定（1.4）的解，还需要找到另外一个首次积分。

将第一式两端同乘，第二式两端同乘，然后用第一式减去第二式，得到

，

即

亦即

。

积分得

，（1.6）

其中为积分常数。

利用首次积分（1.5）和（1.6）可以确定（1.4）的通解。

为此，采用极坐标，这样由（1.5）和（1.6）推得

或.

因此我们得到方程组（1.4）的通解为

，.（1.7）

例2求解微分方程组（1.8）

其中是给定的常数。

解利用方程组的对称性，可得

从而得到首次积分

（1.9）

其中积分常数。

同样我们有

由此又得另一个首次积分

（1.10）

有了首次积分（1.9）和（1.10），我们就可以将u和v用w表示，代入原方程组（1.8）的第三式，得到

（1.11）

其中常数a，b依赖于常数，而常数

注意（1.11）是变量可分离方程，分离变量并积分得到第三个首次积分

（1.12）

其中是积分常数。

因为方程组（1.8）是三阶的，所以三个首次积分（1.9）、（1.10）和（1.12）在理论上足以确定它的通解

但是由于在式（1.12）中出现了椭圆积分，因此不能写出上述通解的具体表达式。

现在我们考虑一般的阶常微分方程

，,（1.13）

其中右端函数在内对连续，而且对是连续可微的。

定义1设函数在的某个子域内连续，而且对是连续可微的。

又设不为常数，但沿着微分方程（1.3）在区域G内的任意积分曲线

函数V取常值；

，

或当时，有

=常数，

这里的常数随积分曲线而定，则称

=C（1.14）

为微分方程（1.13）在区域G内的首次积分。

其中C是一个任意常数，有时也称这里的函数为（1.13）的首次积分。

例如（1.5）和（1.6）都是微分方程（1.4）在某个区域内的首次积分。

这里对区域G有限制，是要求首次积分（1.5）和（1.6）必须是单值的连续可微函数。

因此区域G内不能包括原点，而且也不能有包含原点的回路。

同理，式（1.9）、（1.10）和（1.12）都是方程（1.8）的首次积分。

对于高阶微分方程（1.1），只要做变换（1.2），就可以把它化成一个与其等价的微分方程组。

因此，首次积分的定义可以自然地移植到n阶方程（1.1）。

而其首次积分的一般形式可以写为

。

（1.15）

例如，设二阶微分方程组

，

用乘方程的两端，可得

，

然后积分，得到一个首次积分

。

一般的，阶常微分方程有个独立的首次积分，如果求得阶常微分方程组的个独立的首次积分，则可求阶常微分方程组的通解。

1.2首次积分的性质和存在性

关于首次积分的性质，我们不加证明地列出下面的定理。

定理1设函数在区域G内是连续可微的，而且它不是常数，则

（1.16）

是微分方程（1.13）在区域G内的首次积分的充分必要条件是

（1.17）

是关于变量的一个恒等式。

这个定理实际上为我们提供了一个判别一个函数是否是微分方程（1.13）首次积分的有效方法。

因为根据首次积分的定义，为了判别函数是否是微分方程（1.13）在G内的首次积分，我们需要知道（1.13）在G内的所有积分曲线。

这在实际上是由困难的。

而定理1避免了这一缺点。

定理2若已知微分方程（1.13）的一个首次积分（1.14），则可以把微分方程（1.13）降低一阶。

设微分方程组（1.13）有n个首次积分

，（1.18）

如果在某个区域G内它们的Jacobi行列式

，（1.19）

则称它们在区域G内是相互独立的。

定理3设已知微分方程（1.13）的n个相互独立的首次积分（1.18），则可由它们得到（1.13）在区域G内的通解

，（1.20）

其中为n个任意常数（在允许范围内），而且上述通解表示了微分方程（1.13）在G内的所有解。

关于首次积分的存在性，我们有

定理4设，则存在的一个邻域，使得微分方程（1.13）在区域内有n个相互独立的首次积分。

定理5微分方程（1.13）最多只有n个相互独立的首次积分。

定理6设（1.18）是微分方程（1.13）在区域G内的n个相互独立的首次积分，则在区域G内微分方程（1.13）的任何首次积分

=C，

可以用（1.18）来表达，亦即

，

其中是某个连续可微的函数。

为了求首次积分，也为了下一节的应用，人们常把方程组（1.3）改写成对称的形式

，

这时自变量和未知函数的地位是完全平等的。

更一般地，人们常把上述对称式写成

（1.21）并设内部不同时为零，例如如果设则（1.21）等价于

。

（1.22）

请注意，式（1.22）中的相当于自变量，相当于未知函数，所以在方程组（1.21）中只有n--1个未知函数，连同自变量一起，共有n个变元。

不难验证，对于系统（1.21），定理1相应地改写为：

设函数连续可微，并且不恒等于常数，则=C是（1.21）的首次积分的充分必要条件是关系式

（1.23）

在G内成为恒等式。

如果能得到（1.21）的n-1个独立的首次积分，则将它们联立，就得到（1.21）的通积分。

方程写成对称的形式后，可以利用比例的性质，给求首次积分带来方便。

例3求的通积分。

解将前两个式子分离变量并积分，得到方程组的一个首次积分

（1.24）

其中是任意常数，再用比例的性质，得

，

两边积分，又得到一个首次积分

，（1.25）

其中是任意常数。

（1.24）和（1.25）是相互独立的，将它们联立，便得到原方程组得通积分

，.

例4求的通积分。

解利用比例的性质，可以得到

于是有

分别积分，就得到两个首次积分

将它们联立，就得到原系统的通积分，其中为任意常数。

例5求解二体问题，即求解方程组

其中常数是相对静止的这个天体的质量。

现在求二体问题的运动轨线。

以x乘第二式两边，以y乘第三式两边，然后相减，得

，

积分便得到

（1.26）

这里是任意常数，用类似的方法，可以得到

其中都是任意常数。

分别用x、y、z乘（1.26），（1.27）和（1.28）的两边，然后三式相加，得到

（1.29）

这时一个平面方程。

说明二体问题的运动轨迹位于（1.29）所表示的平面内。

因此二体问题的轨迹是一条平面曲线。

重新选取坐标平面，不妨将轨迹线所在的平面选为（x，y）平面，于是二体问题的运动方程是

由这两式可以看到

，

上式可以写成

两边积分，得到一个首次