高中数学解题方法大全文档格式.doc
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Ⅰ、再现性题组:
1.在正项等比数列{a}中,a?
a+2a?
a+a?
a=25,则a+a=_______。
2.方程x+y-4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。
A.<
k<
1B.k<
或k>
1C.k∈RD.k=或k=1
3.已知sinα+cosα=1,则sinα+cosα的值为______。
A.1B.-1C.1或-1D.0
4.函数y=log(-2x+5x+3)的单调递增区间是_____。
A.(-∞,]B.[,+∞)C.(-,]D.[,3)
5.已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x,则点P(x,x)在圆x+y=4上,则实数a=_____。
【简解】1小题:
利用等比数列性质aa=a,将已知等式左边后配方(a+a)易求。
答案是:
5。
2小题:
配方成圆的标准方程形式(x-a)+(y-b)=r,解r>
0即可,选B。
3小题:
已知等式经配方成(sinα+cosα)-2sinαcosα=1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解。
选C。
4小题:
配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。
选D。
5小题:
答案3-。
Ⅱ、示范性题组:
例1.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。
A.2B.C.5D.6
【分析】先转换为数学表达式:
设长方体长宽高分别为x,y,z,则,而欲求对角线长,将其配凑成两已知式的组合形式可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24”而得:
。
长方体所求对角线长为:
===5
所以选B。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。
这也是我们使用配方法的一种解题模式。
例2.设方程x+kx+2=0的两实根为p、q,若()+()≤7成立,求实数k的取值范围。
【解】方程x+kx+2=0的两实根为p、q,由韦达定理得:
p+q=-k,pq=2,
()+()====≤7,解得k≤-或k≥。
又∵p、q为方程x+kx+2=0的两实根,∴△=k-8≥0即k≥2或k≤-2
综合起来,k的取值范围是:
-≤k≤-或者≤k≤。
【注】关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ”;
已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理。
本题由韦达定理得到p+q、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成p+q与pq的组合式。
假如本题不对“△”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视。
例3.设非零复数a、b满足a+ab+b=0,求()+()。
【分析】对已知式可以联想:
变形为()+()+1=0,则=ω(ω为1的立方虚根);
或配方为(a+b)=ab。
则代入所求式即得。
【解】由a+ab+b=0变形得:
()+()+1=0,
设ω=,则ω+ω+1=0,可知ω为1的立方虚根,所以:
=,ω==1。
又由a+ab+b=0变形得:
(a+b)=ab,
所以()+()=()+()=()+()=ω+=2。
【注】本题通过配方,简化了所求的表达式;
巧用1的立方虚根,活用ω的性质,计算表达式中的高次幂。
一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开。
【另解】由a+ab+b=0变形得:
()+()+1=0,解出=后,化成三角形式,代入所求表达式的变形式()+()后,完成后面的运算。
此方法用于只是未联想到ω时进行解题。
假如本题没有想到以上一系列变换过程时,还可由a+ab+b=0解出:
a=b,直接代入所求表达式,进行分式化简后,化成复数的三角形式,利用棣莫佛定理完成最后的计算。
Ⅲ、巩固性题组:
1. 函数y=(x-a)+(x-b)(a、b为常数)的最小值为_____。
A.8B.C.D.最小值不存在
2. α、β是方程x-2ax+a+6=0的两实根,则(α-1)+(β-1)的最小值是_____。
A.-B.8C.18D.不存在
3. 已知x、y∈R,且满足x+3y-1=0,则函数t=2+8有_____。
A.最大值2B.最大值C.最小值2B.最小值
4. 椭圆x-2ax+3y+a-6=0的一个焦点在直线x+y+4=0上,则a=_____。
A.2B.-6C.-2或-6D.2或6
5. 化简:
2+的结果是_____。
A.2sin4B.2sin4-4cos4C.-2sin4D.4cos4-2sin4
6.设F和F为双曲线-y=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠FPF=90°
,则△FPF的面积是_________。
7.若x>
-1,则f(x)=x+2x+的最小值为___________。
8.已知〈β<
α〈π,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin2α的值。
(92年高考题)
9.设二次函数f(x)=Ax+Bx+C,给定m、n(m<
n),且满足A[(m+n)+mn]+2A[B(m+n)-Cmn]+B+C=0。
① 解不等式f(x)>
0;
②是否存在一个实数t,使当t∈(m+t,n-t)时,f(x)<
0?
若不存在,说出理由;
若存在,指出t的取值范围。
10.设s>
1,t>
1,m∈R,x=logt+logs,y=logt+logs+m(logt+logs),
① 将y表示为x的函数y=f(x),并求出f(x)的定义域;
② 若关于x的方程f(x)=0有且仅有一个实根,求m的取值范围。
二、换元法
解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。
换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有:
局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式:
4+2-2≥0,先变形为设2=t(t>
0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y=+的值域时,易发现x∈[0,1],设x=sinα,α∈[0,],问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x+y=r(r>
0)时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。
均值换元,如遇到x+y=S形式时,设x=+t,y=-t等等。
我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>
0和α∈[0,]。
1.y=sinx?
cosx+sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x+1)=log(4-x)(a>
1),则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{a}中,a=-1,a?
a=a-a,则数列通项a=___________。
4.设实数x、y满足x+2xy-1=0,则x+y的取值范围是___________。
5.方程=3的解是_______________。
6.不等式log(2-1)?
log(2-2)〈2的解集是_______________。
【简解】1小题:
设sinx+cosx=t∈[-,],则y=+t-,对称轴t=-1,当t=,y=+;
设x+1=t(t≥1),则f(t)=log[-(t-1)+4],所以值域为(-∞,log4];
已知变形为-=-1,设b=,则b=-1,b=-1+(n-1)(-1)=-n,所以a=-;
设x+y=k,则x-2kx+1=0,△=4k-4≥0,所以k≥1或k≤-1;
设3=y,则3y+2y-1=0,解得y=,所以x=-1;
6小题:
设log(2-1)=y,则y(y+1)<
2,解得-2<
y<
1,所以x∈(log,log3)。
例1.实数x、y满足4x-5xy+4y=5(①式),设S=x+y,求+的值。
(93年全国高中数学联赛题)
【分析】由S=x+y联想到cosα+sinα=1,于是进行三角换元,设代入①式求S和S的值。
【解】设代入①式得:
4S-5S?
sinαcosα=5
解得S=;
∵-1≤sin2α≤1∴3≤8-5sin2α≤13∴≤≤
∴+