由递推式求数列通项的典型题的技巧解法Word文档格式.doc

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所以

，

类型2

（1）递推公式为

把原递推公式转化为，利用累乘法（逐商相乘法）求解。

例2.已知数列满足，，求数列的通项公式。

由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

又，

（2）由和确定的递推数列的通项可如下求得：

由已知递推式有，，，依次向前代入，得，

简记为，这就是叠（迭）代法的基本模式。

（3）递推式：

只需构造数列，消去带来的差异。

例3．设数列：

，求数列的通项公式。

设，将代入递推式，得

…（１）则,又，故代入（１）得

说明：

（1）若为的二次式，则可设;

（2）本题也可由,（）

两式相减得转化为求之.

例4．已知，，求数列的通项公式。

类型3递推公式为（其中p，q均为常数，）。

把原递推公式转化为：

，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

在数列中，若，则该数列的通项。

例5.已知数列中，，，求数列的通项公式。

设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,

所以.

类型4递推公式为（其中p，q均为常数，）。

（或,其中p，q,r均为常数）

该类型较类型3要复杂一些。

一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：

。

引入辅助数列（其中），得：

再应用类型3的方法解决。

例6.已知数列中，,，求数列的通项公式。

在两边乘以得：

令，则,应用例7解法得：

类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。

先把原递推公式转化为

其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。

已知数列满足求数列的通项公式。

例7.已知数列中，,,，求数列的通项公式。

由可转化为

即或

这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即

又，所以。

类型6递推公式为与的关系式。

（或）

利用进行求解。

例8.已知数列前n项和，

（1）求与的关系；

（2）求数列的通项公式。

（1）由得：

于是

（2）应用类型4的方法，上式两边同乘以得：

由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以

类型7双数列型

根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

例9.已知数列中，；

数列中，。

当时，,，求数列、的通项公式。

因

即…………………………………………

（1）

又因为

所以……

.即………………………

（2）

由

（1）、

（2）得：

，

总结方法比做题更重要!

方法产生

于具体数学内容的学习过程中.

练习题

1.（2010上海文数）已知数列的前项和为，且，，求的通项公式.（）

2.（2010重庆理数）在数列中，=1，，其中实数，求的通项公式.（，）

3.（2010四川理数）已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有

a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2（m－n）2

（Ⅰ）求a3，a5；

（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1（n∈N*），证明：

{bn}是等差数列；

（Ⅲ）设cn＝（an+1－an）qn－1（q≠0，n∈N*），求数列{cn}的前n项和Sn.

（（Ⅰ）a3＝6，a5＝20；

（Ⅲ）Sn＝）

4.（2009全国卷Ⅰ理）在数列中，，设，求数列的通项公式.（，）.

5.（2009湖北卷理）已知数列的前n项和（n为正整数）。

令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式.（）

6.（2009全国卷Ⅱ理）设数列的前项和为已知.

（1）设，证明数列是等比数列.；

（2）求数列的通项公式.（）

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