中考数学第20讲锐角三角函数复习教案新版北师大版.docx

中考数学第20讲锐角三角函数复习教案新版北师大版.docx

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中考数学第20讲锐角三角函数复习教案新版北师大版

课时课题：

第20讲锐角三角函数

课型：

复习课

教学目标

1．掌握三种三角函数值的意义，会求直角三角形中锐角三角函数值．

2．熟记特殊角的三角函数值，并能灵活应用．

3．掌握坡度、仰角、俯角、方位角等概念，并能构造直角三角形解决实际问题．

教学重点与难点

重点：

先构造直角三角形，再综合应用勾股定理和锐角三角函数解决简单的实际问题．

难点：

把实际问题转化为解直角三角形的数学问题．

教法与学法指导

教法：

创设问题情境，以学生感兴趣的，并容易回答的问题展开教学，让学生在各自熟悉的场景中轻松、愉快地回答老师提出的问题后，带着成功的喜悦进入复习.启发性原则是永恒的，所以在复习展开过程中，让学生在教师的启发下成为课堂上行为的主体.

学法：

由于学生都渴望与他人交流，合作探究可使学生感受到合作的重要和团队的精神力量，增强集体意识，所以本课采用小组合作的学习方式，让学生遵循“观察——猜想——验证——归纳——总结”的主线进行学习.

课前准备：

教师准备：

多媒体课件.

学生准备：

学生梳理有关三角函数的内容，复习课本九下第一章.

教学过程：

一、情感交流，激志导入

师：

上节课复习的勾股定理，同学们表现的都很棒！

夯实基础是成功的基础！

让我们继续来复习《解直角三角形》考点2三角函数.（教师板书课题：

第六讲考点2三角函数）

（学生精神饱满，情绪高涨．）

师：

三角函数这部分内容是中考数学试题命题的重要组成部分，这部分知识主要反映在九年级下册第一章，在我们中考当中所占的比例也是很重的，今天就来系统复习三角函数.

设计意图：

通过情感交流入复习课，调动学生学习的积极性；更快的让学生进入角色，为本节复习课奠定基础．

二、知识梳理，夯实基础

基础知识之自我回顾

师：

我们提前一天布置同学们对本章知识进行复习整理，本课进行成果展示，比一比，谁更优秀．

（实物投影学生整理的三角函数相关的知识．）

学生主要从以下方面整理：

设计意图：

提前告知学生本节课要求，让其早作准备，让学生“有备而来”，有利于提高复习效果．让学生以比赛选手身份展示自己复习成果——本节课复习效果.有效地明确其身份——你是本课的主人，一定要参与其中，为提高课堂效益打下基础.

基础知识之基础演练

师：

观看投影，迅速完成以下题目.

1.计算：

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2BC，那么tanA的值是（）

A、B、2C、D、

3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=,则∠A的那值是（）

A、90°B、60°C、45°D、30°

【学生依次回答】

生1：

.

生2：

根据题意画出图形，tanA的值是，答案选择：

A.

生3：

根据题意画出图形，由已知条件可以算出cosA的值是，根据特殊角的三角函数值，答案选择：

D.

师：

这三道题目考察了锐角三角函数的概念以及特殊角的三角函数值，对于第一小题要求同学们不要以为这种题目简单而过于轻敌，每年中考中有相当多的同学因为记错数值而造成失分，处理这种题目时可以仔细想一想特殊值表的规律．第2、3两题刚才两位同学处理的非常好，结合图像来看一目了然，数形结合法是解决三角函数相关题目的常用方法．

设计意图：

三道简单题拉开复习的序幕，试题覆盖本章最基本知识——特殊角三角函数值、三角函数定义.难度很小，正确率可大大提升，让学生自信地复习下去.

基础知识之灵活运用

1．△ABC中，a=3，b=5，c=4，则sinA的值是（）

A、B、C、D、

2．在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40°，则BC边长为（）

A、msin40°B、mcos40°C、mtan40°D、

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB的值为（）

A、B、C、D、

4．.

5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，若tanB=cos∠DAC，

（1）AC与BD相等吗？

说明理由；

（2）若sinC=,BC=12,求AD的长.

（学生小组合作完成，交流体会）

【学生依次回答】

生4：

sinA==.

生5：

不对，本题中b是斜边，所以sinA==.

师：

在我们之前处理的题目中相当多的是以∠C为直角的，很多同学会先入为主，这道题目要提醒了我们审题一定要仔细.

生6：

第2题选择：

B.

生7：

第3题可以采用特殊值法，做出图形可以令BC=1，AC=3，可以得到AB=，所以sinB的值为，故选D.

（第4、5题两学生板演在黑板上.）

生8：

.

生9：

（1）∵tanB=cos∠DAC，∴.∴BD=AC.

（2）∵sinC=，∴可设AD=12k，AC=13k，则CD=5k．∵BD=AC，∴BC=18k=12．∴k=．∴AD=12k=8．

师：

第4题综合考查了完全平方公式、的化简、特殊角的三角函数值.在去掉绝对值时部分同学会写成cos30°-1，忽视了锐角的余弦小于1，cos30°-1是负数.

第5题的第2问，不能用特殊值法，我们可以设未知数，这位同学处理的非常好.

设计意图：

这5道题的设置，不难不易，具有典型性、示范性，再次检查学生掌握基本知识情况.其中不乏有陷阱题，看学生审题习惯如何，不错最好，错了不是坏事，其他同学的纠正，教师点评有助于其加深印象.

四、热点跟踪，难点突破

师：

有关三角函数的中考题常常结合实际问题来考查，下面我们来看一下几种常见题型.

难点突破之思维激活

（出示习题，学生分析、板演、纠错，教师点评）

（一）以仰角、俯角为背景

共同来看一下中考中本节的知识点的呈现方式．

如图，从热气球C上测得两建物A，B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为90米，且点A，D，B在同一直线上，求建筑物A，B间的距离.

【师生共析】要求AB的距离，反映在图形中是AD、BD的和，在两个直角三角形中分别求出即可.

【学生板演】解：

由题意可知∠A=30°，∠B=60°．

在△ABC中，tanA=，

∴AD==（米）.

同理BD=米．

∴AB=AD+BD=（米）.

师（点评）：

根据题目的条件找出需要的角的度数是解决本题的关键所在.

变式训练（2012•贵阳）小亮想知道亚洲最大的瀑布黄果树夏季洪峰汇成巨瀑时的落差．如图，他利用测角仪站在C处测得∠ACB=68°，再沿BC方向走80m到达D处，测得∠ADC=34°，求落差AB．（测角仪高度忽略不计，结果精确到1m）

【附答案】

解：

∵ACB=68°，∠D=34°，∠ACB是△ACD的外角，

∴∠CAD=∠ACB﹣∠D=68°﹣34°=34°.

∴∠CAD=∠D.

∴AC=CD=80.

在Rt△ABC中，AB=AC×sin68°≈80×0.927≈74（m）．

答：

落差AB为74m．

（二）以坡度坡角为背景

（2012﹒内江）水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD．如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=60°，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米.

（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？

（2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度.

【考点分析】本题考查梯形的常见辅助线添法，梯形、三角形的面积公式，以及坡度的定义，要求较强的转化、计算能力.

【师生共同分析】

（1）分别过A、D做下底的两条高线，AM、DN，在Rt△ABM中，已知坡面长和破角的度数，可以求出高AM的长度，也就得到了DN的长度，以CE为底，DN为高即可以求出S△CDE，再乘以大坝的长度，即为所需的填土石方体积.

（2）在Rt△DCN中可求CN长，在Rt△DNE中根据DN、EN的长度就可以求出坡角的正切值，即坡面DE的坡度.

【学生板书】

解：

（1）作AM⊥BC于，作DN⊥BC于，

∵Rt△ABM中AB=16米，∠B=60°，

∴AM=ABsinB=16sin60°=（米）.

∵CE=8米，

∴S△CDE=CE·AM==（米2）.

∵需加固的大坝长为150米，

∴需要填土石方为V=150S△CDE=米3．

（2）∵Rt△DCN中，DN=AM=，CD=，

∴∠DCN=30°，CN=24．

∴，NE=NC+CE=24+8=32米

∴Rt△DNE中，.

∴加固后的大坝背水坡面DE的坡度为.

（三）以方位辨识为背景

（2012﹒广安）如图，2012年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60o方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民.此时，C地位于中国海监船的南偏东45o方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？

（≈1.41，≈1.73，≈2.45）

【考点分析】解直角三角形的应用（方向角问题），等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值.

【师生共析】过点A作AD⊥BC的延长线于点D，则△ACD是等腰直角三角形，根据AC=10海里可求出AD即CD的长，在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出BD的长，从而可得出BC的长，再根据中国海监船以每小时30海里的速度航行，国军舰正以每小时13海里的速度即可得出两军舰到达C点所用的时间，从而得出结论.

【解答】

解：

过点A作AD⊥BC的延长线于点D，

∵∠CAD=45°，AC=10，

∴△ACD是等腰直角三角形.

∴AD=CD=，

在Rt△ABD中，∵∠DAB=60°，

∴BD=AD•tan60°=．

∴BC=BD﹣CD=.

∵中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，

∴海监船到达C点所用的时间（小时）；

某国军舰到达C点所用的时间（小时）.

∵＜0.4，

∴中国海监船能及时赶到.

设计意图：

数形结合思想的正确使用一直是学生的难点，正因为是难点，才需多练.错误不可怕，本来教者就已估计有不少同学出错，反正有同学纠错、老师点评，全体同学都有收益．课堂上太顺了，有时不是好事.

难点突破之聚焦中考

（2012﹒潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：

先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．

（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：

=1.73，=1.41）；

（2）已知本路段对校车限速为40千米／小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？

说明理由．

【师生共析】

师：

要求AB长，可以怎么转化？

生：

由题意可知△ABC为等腰三角形，AB长即为BC的长.

师：

要判断是否超速，用哪两个量进行比较？

生：

利用AB的长度除以所用的时间可以的道小车的速度，转换成千米/小时，与40进行比较即可.

【学生板书】

解：

（1）由题意得，在Rt△ADC中，

AD===21=36.33，

在Rt△BDC中，BD====12.11，

所以AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22≈24.2（米）．

（2）校车从A到B用时2秒，所以速度为24.2÷2=12.1（米／秒），

因为12.1×3600=43560，

所以该车速度为43.56千米／小时，大于40千米／小时，

所以此校车在AB路段超速．

设计意图：

本题接近学生实际生活，设计新颖，考查解直角三角形的实际应用.同时，充分体现了方程思想在解直角三角形问题中的应用，是中考命题的热点，中考题并不可怕，师生互动后也能顺利解决，让学生产生“不过如此”的感觉