高三数学二轮专题复习 51直线与圆课后作业 新人教A版Word格式文档下载.docx

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3．（文）⊙C1：

（x－1）2＋y2＝4与⊙C2：

（x＋1）2＋（y－3）2＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：

x2＋y2＝4截得弦长为（　　）

A.B．4

[答案]　D

[解析]　由⊙C1与⊙C2的方程相减得l：

2x－3y＋2＝0.

圆心O（0,0）到l的距离d＝，⊙O的半径R＝2，

∴截得弦长为2＝2＝.

（理）（2013·

重庆理，7）已知圆C1：

（x－2）2＋（y－3）2＝1，圆C2：

（x－3）2＋（y－4）2＝9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为（　　）

A．5－4B.－1

C．6－2D.

[答案]A

[解析]　依题意，⊙C1关于x轴的对称圆为⊙C′，圆心C′为（2，－3），半径为1，⊙C2的圆心为（3,4），半径为3，则（|PC′|＋|PC2|）min＝|C′C2|＝5，所以（|PM|＋|PN|）min＝（|PC′|＋|PC2|）min－（1＋3）＝5－4，选A.

4．（2013·

惠州调研）直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是（　　）

A．相离B．相切

C．相交D．不确定

[答案]　C

[解析]　直线ax－y＋2a＝0⇒a（x＋2）－y＝0，即直线恒过点（－2,0），∵点（－2,0）在圆内，所以直线与圆相交，故选C.

5．（2013·

重庆文，4）设P是圆（x－3）2＋（y＋1）2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为（　　）

A．6　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．2

[解析]　如图所示，要使|PQ|最小，则过圆心作直线x＝－3的垂线分别与圆及直线交点为P、Q时，|PQ|最小，此时圆心到直线x＝－3的距离为6，则|PQ|min＝6－2＝4.故选B.

6．（2013·

广东文，7）垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是（　　）

A．x＋y－＝0B．x＋y＋1＝0

C．x＋y－1＝0D．x＋y＋＝0

[答案]　A

[解析]　设直线方程为x＋y＋m＝0，直线与圆相切，则＝1，m＝－或m＝（由直线与圆的切点在第一象限知不合题意，故舍去），

所以选A.

二、填空题

7．（2013·

天津耀华中学月考）已知直线l过点P（3,4）且与点A（－2,2），B（4，－2）等距离，则直线l的方程为________．

[答案]　2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0

[解析]　本题主要考查直线方程的求法，属中档题．

当直线斜率不存在时，则直线方程为x＝3，则A、B两点到x＝3的距离分别为d1＝5，d2＝1，不符要求．故直线斜率存在，设为k，则直线方程可设为y－4＝k（x－3），即kx－y－3k＋4＝0，

则由题意得＝，解得k＝－或k＝2，

故直线方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.

8．（文）（2013·

天津耀华中学月考）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．

[答案]　（－13,13）

[解析]　本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题．

要使圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可．

即<

1，解|c|<

13，

∴－13<

c<

13.

（理）（2012·

辽宁模拟）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|kx－y－2≤0}，其中x、y∈R.若A⊆B，则实数k的取值范围是________．

[答案][－，]

[解析]　要使A⊆B，只需直线kx－y－2＝0与圆相切或相离，

∴d＝≥1，解得－≤k≤.

三、解答题

9．（2013·

哈尔滨市质检）已知圆C1：

x2＋y2＝r2截直线x＋y－＝0所得的弦长为.抛物线C2：

x2＝2py（p>

0）的焦点在圆C1上．

（1）求抛物线C2的方程；

（2）过点A（－1,0）的直线l与抛物线C2交于B，C两点，又分别过B、C两点作抛物线C2的切线，当两条切线互相垂直时，求直线l的方程．

[解析]　

（1）易求得圆心到直线的距离为，

所以半径r＝＝1.∴圆C1：

x2＋y2＝1.抛物线的焦点（0，）在圆x2＋y2＝1上，得p＝2，

所以x2＝4y.

（2）设所求直线的方程为y＝k（x＋1），

B（x1，y1），C（x2，y2）．

将直线方程代入抛物线方程可得x2－4kx－4k＝0，

∴x1x2＝－4k.

因为抛物线y＝，所以y′＝，

所以两条切线的斜率分别为、，

所以·

＝－1＝，所以k＝1.

故所求直线方程为x－y＋1＝0.

10．（2012·

河南许昌、新乡、平顶山调研）已知点A（－2,0），B（2,0），直线PA与直线PB斜率之积为－，记点P的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）设M、N是曲线C上任意两点，且|－|＝|＋|，是否存在以原点为圆心且与MN总相切的圆？

若存在，求出该圆的方程；

若不存在，请说明理由．

[解析]　

（1）设P（x，y），

则由直线PA与直线PB斜率之积为－得，

·

＝－（x≠±

2），

整理得曲线C的方程为＋＝1（x≠±

2）．

（2）若|－|＝|＋|，则⊥.

设M（x1，y1），N（x2，y2）．

若直线MN斜率不存在，则y2＝－y1，N（x1，－y1）．

由⊥得·

＝－1，又＋＝1.

解得直线MN方程为x＝±

.原点O到直线MN的距离d＝.

若直线MN斜率存在，设方程为y＝kx＋m.

由得（4k2＋3）x2＋8kmx＋4m2－12＝0.

∴x1＋x2＝，x1·

x2＝.　（*）

＝－1，整理得（k2＋1）x1x2＋km（x1＋x2）＋m2＝0.

代入（*）式解得7m2＝12（k2＋1）．

此时（4k2＋3）x2＋8kmx＋4m2－12＝0中Δ>

0.

此时原点O到直线MN的距离

d＝＝.

故原点O到直线MN的距离恒为d＝.存在以原点为圆心且与MN总相切的圆，方程为x2＋y2＝.

能力提高训练

1．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0（a<

3）相交于A、B两点，若弦AB的中点为（－2,3），则直线l的方程为（　　）

A．x－y＋5＝0B．x＋y－1＝0

C．x－y－5＝0D．x＋y－3＝0

[解析]　设圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0（a<

3）的圆心为C，弦AB的中点为D，易知C（－1,2），又D（－2,3），

故直线CD的斜率kCD＝＝－1，

则由CD⊥l知直线l的斜率kl＝－＝1，

故直线l的方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.

2．过点（2，－1）的直线l与圆x2＋y2－2y＝1相切，则直线l的倾斜角的大小为（　　）

A．30°

或150°

B．45°

或135°

C．75°

或105°

D．105°

或165°

[解析]　设直线l为y＝k（x－2）－1，代入x2＋y2－2y＝1，得（1＋k2）x2－4k（k＋1）x＋4（k＋1）2－2＝0，由Δ＝16k2（k＋1）2－4（1＋k2）[4（k＋1）2－2]＝0，得k＝－2±

，倾斜角为105°

.

3．（2013·

宣城市六校联考）过点P（－2,3）且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线共有（　　）

A．1条B．2条

C．3条D．4条

[解析]　过P（－2,3）与x轴负半轴和y轴正半轴围成的三角形面积的最小值是12，所以过一、二、三象限可作2条，过一、二、四象限可作一条，过二、三、四象限可作一条，共4条．

4．（2012·

河南豫北六校精英联考）两条平行直线和圆的位置关系定义为：

若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；

若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；

若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l1：

2x－y＋a＝0，l2：

2x－y＋a2＋1＝0和圆：

x2＋y2＋2x－4＝0相切，则a的取值范围是（　　）

A．a>

7或a<

－3

B．a>

或a<

－

C．－3≤a≤－或≤a≤7

D．a≥7或a－3

[答案]C

[解析]　本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，

由得－<

a<

，

两条直线都和圆相离时，

由得a<

－3，或a>

7，所以两条直线和圆“相切”时a的取值范围－3≤a≤－或≤a≤7，故选C.

杭州质检）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2A＋sin2B＝sin2C，则直线ax－by＋c＝0被圆x2＋y2＝9所截得弦长为________．

[答案]　2

[解析]　由正弦定理得a2＋b2＝c2，

∴圆心到直线距离d＝＝＝，

∴弦长l＝2＝2＝2.

合肥质检）设直线mx－y＋3＝0与圆（x－1）2＋（y－2）2＝4相交于A、B两点，且弦长为2，则m＝________.

[答案]　0

[解析]　圆的半径为2，弦长为2，∴弦心距为1，即得d＝＝1，解得m＝0.

海口调研）已知圆C：

x2＋y2＝r2（r>

0）经过点（1，）．

（1）求圆C的方程；

（2）是否存在经过点（－1,1）的直线l，它与圆C相交于A，B两个不同点，且满足关系＝＋（O为坐标原点）的点M也在圆C上，如果存在，求出直线l的方程；

如果不存在，请说明理由．

[解析]　

（1）由圆C：

x2＋y2＝r2，再由点（1，）在圆C上，得r2＝12＋（）2＝4，

所以圆C的方程为x2＋y2＝4.

（2）假设直线l存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．

①若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－1＝k（x＋1），

联立消去y得，

（1＋k2）x2＋2k（k＋1）x＋k2＋2k－3＝0，

由韦达定理得x1＋x2＝－＝－2＋，

x1x2＝＝1＋，

y1y2＝k2x1x2＋k（k＋1）（x1＋x2）＋（k＋1）2＝－3，

因为点A（x1，y1），B（x2，y2）在圆C上，

因此，得x＋y＝4，x＋y＝4，

由＝＋得，x0＝，y0＝，

由于点M也在圆C上，则（）2＋（）2＝4，

整理得＋3·

＋x1x2＋y1y2＝4，

即x1x2＋y1y2＝0，所以1＋＋（－3）＝0，

从而得，k2－2k＋1＝0，即k＝1，因此，直线l的方程为

y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.

②若直线l的斜率不存在，

则A（－1，），B（－1，－），M（，）

（）2＋（）2＝4－≠4，

故点M不在圆上与题设矛盾，

综上所知：

k＝1，直线方程为x－y＋2＝0.

8．（文）（2012·

西安八交联考）已知圆O：

x2＋y2＝2交