届中考数学专题复习训练二次函数专题131二次函数综合之角度相等45角二倍角Word文件下载.docx
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15OG=x,贝∣JPG=λ-,HG=λ-1.
在Rt∆PGH中,由x2=(χ-l)2+32,得λ-5.・・・点G(5,0).
315
•••直线PG的解析式为y=-A--,
44
VP(1,-3),
••I字晋•
•••点D的坐标为(-1,一3)或(1L
416
【经典例题变式】如图,已知抛物线y=αv2+加+c("
≠0)与λ∙轴交于A(l,0)、B(4,
0)两点,与y轴交于C(0,2),连接AC、BC.
(1)求抛物线解析式;
(2)BC的垂直平分线交抛物线于D.E两点,求直线DE的解析式;
(3)⑶若点P在抛物线的对称轴上,且ZCPB=ZCAB,求出所有满足条件的P点坐
故这个抛物线的解析式为y=-A-2--A+2.
22
(2)解法一:
如图1,设BC的垂直平分线DE交BC于M,交X轴于N,连接CN,过点M作MF丄X轴于F.
Λ∆BMF^∆BCO,
.MFBFBMl
'
~cδ~~BO~~BC~2'
VB(4,0),C(0,2),.∙.CO=2,BO=4,
.∙.MF=1,BF=2,
ΛM(2,1)...(5分)
•・•MN是BC的垂直平分线,
ACN=BN,
15ON=x,WIJCN=BN=4-λ∙,
在Rt∆OCN中,CN2=OC2+ON2,
.・.(4-x)2=22+λ2,
3
解得:
*二,
2
/.N(-,0)•
直线DE的解析式为y=2x-3.解法二:
如图2,设BC的垂直平分线DE交BC于M,交X轴于N,连接CN,过点C作CF∕∕x轴交DE于F.
•・•MN是BC的垂直平分线,ΛCN=BN,CM=BM.
15ON=x,则CN=BN=4*在Rt∆OCN中,CN2=OC2+ON2,/.(4-x)2=22+λ2,
3解得:
335
ΛN(-,O)∙ΛBN=4--=-.
222
TCF〃尤轴,ΛZCFM=ZBNM.VZCMF=ZBMN,ΛΔCMF^ΔBMN.
ΛCF=BN・AF(-,2)•
•••直线DE的解析式为y=2x-3.
⑶由⑴得抛物线解析式为+討2,
・•・它的对称轴为直线A-=-.
1如图3,设直线DE交抛物线对称轴于点G,则点G(-,2),
以G为圆心,GA长为半径画圆交对称轴于点Pi,
贝IJZCPlB=ZCAB∙GA=-,
・•・点Pl的坐标为(-,--).
2如图4,由
(2)得:
BN=-,ΛBN=BG,
"
2
••・G、N关于直线BC对称.
・•・以N为圆心,NB长为半径的N与G关于直线BC对称.
N交抛物线对称轴于点P?
则ZCP2B=ZCAB.
53
设对称轴与X轴交于点H,则NH=---=L
/.HP2=-,・・・点P2的坐标为(?
,—).
综上所述,当P点的坐标为(-,--)或(2,琴)时,ZCPB=ZCAB.
2222
【经典例题变式】如图①,抛物线y=∕+(α+l)χρ与X轴交于A,B两点(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C.已知AABC的面积是6.
(1)求G的值;
(2)在AABC内是否存在一点M,使得点M到点A.点B和点C的距离相等,若存在,请求出点M的坐标;
若不存在,请说明理由;
(3)如图②,P是抛物线上一点,Q为射线CA上一点,且P、Q两点均在第三象限内,Q、A是位于直线BP同侧的不同两点,若点P到X轴的距离为d,∆QPB的面积为2d,且ZPAQ=ZAQB,求点Q的坐标。
(I)T尸~%2+(α+l)χρ令y=0,即-Xl+(a+1)x-t∕=0
解得Xl=α,X2=l
由图象知:
Xo.∙.A(α,0),B(l,0)VSAABC=6
丄(IP)(P)=6
α=-3,(α=4舍去);
(2)如图①,∙.∙A(7,0),C(0,3),
ΛOA=OC,
・•・线段AC的垂直平分线过原点,・•・线段AC的垂直平分线解析式为:
y=n∙,
Y由A(£
O),B(l,0),
・・・线段AB的垂直平分线为X=T
将x=-l代入y=-χf
y=l
Λ∆ABC外接圆圆心的坐标(-1,1)
(3)如图②,作PM丄X轴交X轴于M,则SABAP=-ABpM=1×
4d22
*∙*SAPQB=SAPAB
・・・A、Q到PB的距离相等,
ΛAQ/7PB
设直线PB解析式为:
y=x+b
•・•直线经过点B(L0)
所以:
直线PB的解析式为ynT联立y二/-2x+3;
y=Λ-l.
x=7:
y=-5.
・•・点P坐标为(T,-5)XVZPAQ=ZAQB,
AZBPA=ZPBQ,AAP=QB,
在APBQ与ZkBPA中,
AP=QB,ZBPA=ZPBQ,PB=BP,.∙.ΔPBQ^∆ABP(SAS),・•・PQ=AB=4
设Q(In,m+3)由PQ=4得:
(m-l4)2+(m+3+5)2=42
m=T,m=-8(当m=-8时,ZPAQ≠ZAQB,故应舍去)・・・Q坐标为(Y,-1).
练习1・1如下图,已知抛物线y=cιx1+bx+5经过A(-5,O),B(-4,-3)两点,与X轴的另一个交点为C,顶点为D,连接CD.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)点P为该抛物线上一动点(与点B,C不重合),设点P的横坐标为(.该抛物线上是否存在点P,使得ZPBC=ZBCD?
若存在,求出所有点P的坐标;
练习1・2・如图,抛物线y=ax1+bx+6与X轴交于点/(・2,0)、点B(6,0),与Iy轴交于点C.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)点D(4,Jfl)在抛物线上,连接BC、BD.试问,在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足二PBCeDBC2如果存在,请求出点P点的坐标;
如果不存在,请说明理由;
练习1-3.(2019泰安)若二次函数y=ax2+bx+c的图象与X轴、y轴分别交于点A(3,0)、3(0,-2),且过点C(2,-2).
(1)求二次函数解析式;
(2)若点P为抛物线上第一象限内的点,且S求点P的坐标;
(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M,使ZABO=ZABM?
若存在,求出点M到),轴的距离;
若不存在,请说明理由.
练习14抛物线y=-F+2x+3与X轴交于点A,B(A在B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求直线BC的解析式;
(2)抛物线的对称轴上存在点P,使匚APB=LABC,利用图1求点P的坐标;
(3)点Q在y轴右侧的抛物线上,利用图2比较JOCQ与匚OCA的大小,并说明理由•
4
练习1・5如图
(1),直线y=-yx+n交X轴于点A,交y轴于点C(0,4),抛物线
9
y=-χ2+bx+c经过点A,交y轴于点B(0,-2)•点P为抛物线上一个动点,过点P
作X轴的垂线PD,过点B作BD±
PD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当厶BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;
(3)如图
(2),将ABDP绕点B逆时针旋转,得到ABDP,当旋转角
ZPBPjZoAC,且点P的对应点卩落在坐标轴上时,请直接写出点P的坐标。
(1)如图1所示,当直线AB与X轴平行,ZAOB=90°
且AB=2时,求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积.
(2)如图2所示,在
(1)所求得的抛物线上,当直线AB与X轴不平行,ZAOB仍为90。
时,A.B两点的横坐标的乘积是否为常数?
如果是,请给予证明;
如果不是,请说明理由.
(3)在
(2)的条件下,若直线y=-2x-2分别交直线AB,y轴于点P、C,直线AB交y轴于点D且ZBPC=ZOCP,求点P的坐标.
【经典例题2—45。
角】
(2019资阳)如图,抛物线y=--x2+bx+cχt点A(3,2),
7
且与直线)=-x+f交于B.C两点,点B的坐标为(4,加)・
(I)求抛物线的解析式;
(3)设点M为抛物线的顶点,在y轴上是否存在点Q,使ZAQM=45°
?
若存
在,求点Q的坐标;
练习2・1如图,直线y=6∙+2与X轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=-上F+bx+c经过点A,B.
(1)求k的值和抛物线的解析式;
(2)M(m,0)为λ∙轴上一动点,过点M且垂直于兀轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N.
1若ABNP是直角三角形,求加的值.
2连接BN,当ZPBN=45。
时,求加的值.(两直线垂直,k值积为-1)
练习2-2如图,抛物线y=αr+^v+3交x轴于A(-1,0)和B(5,0),交y轴于点C,点D是线段OB上一动点,连接CD,将CD绕点D顺时针旋转90。
得到线段DE,过点E作直线/丄X轴,垂足为H,过点C作CF丄/于F,连接DF,CE交于点G.
⑴求抛物线解析式;
(2)求线段DF的长;
SB
⑶当DG=害时,①求IanZCGD的值;
②试探究在兀轴上方的抛物线上,是否存在点P,使ZEDP=45°
若存在,请写出
练习2・3如图,抛物线y=ax1+bx+c与X轴交于点A(-l,0),BC?
0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(2)若点P为抛物线对称轴上一点,当ZAPC=45°
时,求点P的坐标;
(3)已知点Q(0,1),M是抛物线上一动点,是否存在点M使得ZMBQ=45°
若存在,请写出点M的坐标;
若不存在,请说明理由。
练习2・4如图,直线y=ΛM与λ-轴、y轴分别交于A.B两点,抛物线y=-^+bx+c
经过A.B两点,与X轴的另一个交点为C,连接BC.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)点Nl在抛物线上,连接MB,当ZMBA+ZCBO=45o时,求点M的坐标;
在求二倍角的问题中,先根据等腰三角形和外角定理构造二倍角,再利用三角函数(一般用正切)计算。
【经典例题3-二倍角】
(2019咸宇改编)如图,在平面直角坐标系中,直线-∣x+2与X轴交于点A,与),轴交于点B,抛物线y=~γ2+bx+c经过A,B两点且与X轴的负半轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若