届华中师大附中高三第三次联考数学理试题Word下载.docx
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第I卷（选择题60分）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，4｝，则A∩B等于
D.{1，2，3，4}
A.{1，2，4}
B.{2，3，4}
C.{1，2}
2.已知复数
（其中为虚数单位）
，则在复平面内对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.
第四象限
3.已知
，则下列不等式一
定成立的是
A.
B.C.
4.设是公比为的等比数列，且，则“对任意成立”是“
的
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.某班共有50名学生，其数学科学业水平考试成绩记作2，3，，，若成绩不
低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是
A.求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数
B.求该班学生数学科学业水平考试的不合格率
C.求该班学生数学科学业水平考试的合格人数
D.求该班学生数学科学业水平考试的合格率
6.等差数列的前n项和为，已知，则S7=
A.13B.35
D.63
9.等比数列的各项均为正数，已知向量，，且，则
）
A.12B.10C.5D.
10.的展开式中的系数为
A.B.1024C.4096D.5120
实数a的取值范围是
F2，C的右支上存在
C的渐近线方程为
17~21题为必考题，
2
sinAsinBsinC．
15.三棱锥的四个顶点都在球O上，PA，PB，PC两两垂直，
，球O的体积为．
16.已知双曲线C：
=1（a>
0，b>
0）的左，右焦点分别为F1，
一点P，满足cos∠F1PF2=，且|PF2|等于双曲线C的虚轴长，则双曲线
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17．（本大题满分12分）
VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（sinBsinC）2
（1）求A；
（2）若2ab2c，求sinC．
18.（本大题满分12分）
已知四棱锥中，平面，
，.
（1）求证：
平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
19.（本大题满分12分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年.如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装。
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现。
在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个元，二级滤芯每个元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个元，二级滤芯每个元。
现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表.
二级滤芯更换的个数
频数
以个一级过滤器更换滤芯的频率代替个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以个二级过滤器更换滤芯的频率代替个二级过滤器更换滤芯发生的概率.
（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为的概率；
（2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求的分布列及数学期望；
（3）记，分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若
，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定，的值.
20.（本大题满分12分）
22
设椭圆x2y21（ab0）的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为ab
Ⅰ）求椭圆的方程；
Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在
y轴的负半轴上.若|ON||OF|（O为原点），且OPMN，求直线PB的斜率.
21.（本大题满分12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，试判断的零点个数.
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．［选修4―4：
坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
求l和C的直角坐标方程；
设，l和C相交于A，B两点，若，求的值．
23.已知，.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若对任意的，恒成立，求的取值范围
数学（理）试题答案
即：
sin2Bsin2Csin2AsinBsinC
由正弦定理可得：
b2c2a2bc
222
b2c2a21cosA
2bc2
整理可得：
3sinC63cosC
解得：
sinC62或62
4
sin
sinCsin（）62
464
18.解：
（1）证明：
过点在平面内作，交于点，因为，，
所以四边形为一个底角是60°
的等腰梯形，
所以，所以为中点，
由题知，在中，，
又，
所以，而，
所以为的三等分点，
连接，所以，
又在中，，，
所以，所以，所以，
又平面，所以，
因为，所以平面．
（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，所以平面的一个法向量为，
又由（Ⅰ）知，
所以在中，，
所以，，，，
所以，
设平面的法向量为，
所以即令，所以，
设二面角的平面角为，且为锐角，
，则
19.
（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为
该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换个滤芯，二级过滤器需要更换个滤芯。
设套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为”为事件.
因为一个一级过滤器需要更换个滤芯的概率为，二级过滤器需要更换个滤芯的概率为所以.
2）由柱状图可知，
一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为，，的概率分别为，，.
由题意，可能的取值为，，，，，并且
，
.
所以的分布列为
（3）
【解法一】
因为，，若，，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为
；
若，，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为
故，的值分别为，.
【解法二】
因为，，若，，
设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为（单位：
元），则
.设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为（单位：
元），则，.
所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为.
若，，
设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为（单位：
.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为
c5
20.（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意，2b4,c5，又a2b2c2，可得a5，b=2，
a5
c=1.
所以，椭圆方程为xy1.
54
（Ⅱ）由题意，设PxP,yPxP0,MxM,0.设直线PB的斜率为kk0，
ykx2又B0,2，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立x2y2
154
20k
45k2
整理得45k2x220kx0，可得xP
y45k2进而直线OP的斜率P，
xP10k
2在ykx2中，令y0，得xM2.
k
k由题意得N0,1，所以直线MN的斜率为k.
45k2k
由OPMN，得45kk1，
10k2
所以，直线PB的斜率为230或230
55
21.
（1）函数的定义域为，，令
，则，，
（i）若，则恒成立，所以在上是增函数，
（ii）若，则，
当时，，是增函数，
当时，，是减函数，
（iii）若，则，
综上所述：
当时，在上是增函数，
当，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；
（2）当时，
在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，所以的极小值为，
的极大值为,
设，其中，
所以在上是增函数，所以，因为，所以有且仅有1个，使.
所以当时，有且仅有1个零点.
22.解：
由
综上，l的直角坐标方程为，或
由C的极坐标方程得，
将代入，得
，在l上，
23.（Ⅰ）法一：
不等式，即.
可得
解得，所以不等式的解集为.
法二：
，当且仅当即时等号成立.所以不等式的解
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