高中数学 模块综合检测卷 新人教A版选修22文档格式.docx
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4．数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于（B）
A．28B．32C．33D．27
由题中数字可发现：
2＋3＝5，5＋6＝11，11＋9＝20，故20＋12＝32.
5．（xx·
海南省海南中学5月模拟改编）已知直线y＝2x＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点（1，3），则实数b的值为（C）
A．1B．－3C．3D．－1
y′＝3x2＋a，所以有解得故选C.
6．（xx·
高考山东卷）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（A）
A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根
反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“至少有一个根”的否定是“没有”，故选A.
7．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|1＋iz|，则z在复平面内对应点的轨迹是（A）
A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线
设z＝x＋yi（x、y∈R），|x＋1＋yi|＝，
|1＋iz|＝|1＋i（x＋yi）|＝，则＝.
∴复数z＝x＋yi对应点（x，y）的轨迹为到点（－1，0）和（0，1）距离相等的直线．
8．如图，阴影部分面积为（B）
9．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（C）
A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒
s′（t）＝2t－1，s′（3）＝2×
3－1＝5.
10．（xx·
安徽江淮十校4月联考）二次函数f（x）的图像经过点，且f′（x）＝－x－1，则不等式f（10x）>
0的解集为（D）
A．（－3，1）B．（－lg3，0）
C.D．（－∞，0）
由f′（x）＝－x－1知f（x）＝－x2－x＋m，又f（0）＝，所以m＝，即f（x）＝－x2－x＋，f（x）＝－x2－x＋>
0⇒－3<
x<
1，所以10x<
1，x<
0，故选D.
11．（xx·
高考新课标全国Ⅰ卷）已知函数f（x）＝ax3－3x2＋1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>
0，则a的取值范围是（C）
A．（2，＋∞）B．（1，＋∞）
C．（－∞，－2）D．（－∞，－1）
当a＝0时，f（x）＝－3x2＋1，函数f（x）有两个零点和－，不满足题意，舍去；
当a>
0时，f′（x）＝3ax2－6x，令f′（x）＝0，得x＝0或x＝，x∈（－∞，0）时，f′（x）>
0；
x∈时，f′（x）<
x∈时，f′（x）>
0，且f（0）>
0，此时在x∈（－∞，0）必有零点，故不满足题意，舍去；
当a<
0时，x∈时，f′（x）<
0，x∈时，f′（x）>
x∈（0，＋∞）时，f′（x）<
0，要使得f（x）存在唯一的零点x0，且x0>
0，只需f>
0，即a2>
4，则a<
－2，选C.
12．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为（D）
A．dn＝
B．dn＝
C．dn＝
D．dn＝
若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，
∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；
若{cn}是等比数列，则c1·
c2·
…·
cn＝c·
q1＋2＋…＋（n－1）＝c·
q，
∴dn＝＝c1·
q，即{dn}为等比数列，故选D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分；
将正确答案填在题中的横线上）
13．
答案：
14．已知函数f（x）＝3x－x3，当x＝a时取得极大值b，则a＋b等于______________．
由f′（x）＝3－3x2＝0，解得x＝±
1，当x＜－1，f′（x）＜0；
当－1＜x＜1，f′（x）＞0；
当x＞1，f′（x）＜0.故f（x）在x＝1处取得极大值，所以a＝1，b＝3×
1－13＝2，所以a＋b＝3.
3
15．若数列的通项公式an＝（n∈N*），记f（n）＝（1－a1）（1－a2）…（1－an），试通过计算f
（1），f
（2），f（3）的值，推测出f（n）＝________．
f（n）＝…[1－]＝
…（1－）（1＋）＝×
×
…×
＝.
16．观察下图中各正方形图案，每条边上有n（n≥2）个点，第n个图案中圆点的总数是Sn.
n＝2，S2＝4，n＝3，S3＝8，n＝4，S4＝12，…，按此规律，推出Sn与n的关系式为________．
依图的构造规律可以看出：
S2＝2×
4－4，
S3＝3×
S4＝4×
4－4（正方形四个顶点重复计算一次，应减去）．
……
猜想：
Sn＝4n－4（n≥2，n∈N*）．
Sn＝4n－4（n≥2，n∈N*）
三、解答题（本大题共6小题，共70分；
解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
17．（本小题满分11分）已知z是复数，z＋2i，均为实数，且（z＋ai）2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围．
设z＝x＋yi（x，y∈R）．
则z＋2i＝x＋（y＋2）i为实数，∴y＝－2.
又＝＝＝（x－2i）·
（2＋i）＝（2x＋2）＋（x－4）i为实数，
∴x＝4，∴z＝4－2i.
又∵（z＋ai）2＝（4－2i＋ai）2＝（12＋4a－a2）＋8（a－2）i在第一象限，
∴ 解得2<
a<
6，
∴实数a的取值范围是（2，6）．
18．（本小题满分11分）设a为实数，函数f（x）＝x3－x2－x＋a，若函数f（x）过点A（1，0），求函数在区间[－1，3]上的最值．
因为函数过点A（1，0），代入函数的解析式得a＝1；
f′（x）＝3x2－2x－1.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况见下表：
所以f（x）的最大值是f（3）＝16，
最小值是f（－1）＝f
（1）＝0.
19．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝ax＋（a>
1）．
（1）证明：
函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数；
（2）用反证法证明方程f（x）＝0没有负根．
证明：
（1）f′（x）＝axlna＋＝axlna＋，因为a＞1，所以lna＞0，所以f′（x）＞0在（－1，＋∞）上恒成立，即f（x）在（－1，＋∞）上为增函数．
（2）设存在x0＜0（x0≠－1）满足f（x0）＝0，
则ax0＝－，且0＜ax0＜1.
所以0＜－<
1，即＜x0＜2，与假设x0＜0矛盾．
故方程f（x）＝0没有负数根．
20．（本小题满分12分）已知f（x）＝－x3＋ax，其中a∈R，g（x）＝－x，且f（x）<
g（x）在（0，1]上恒成立．求实数a的取值范围．
设F（x）＝f（x）－g（x）＝－x3＋ax＋x，
∵f（x）<
g（x）在（0，1]上恒成立；
F（x）<
0在（0，1]上恒成立，
∴a<
x2－x，这样，要求a的取值范围，使得上式在区间（0，1]上恒成立，只需求函数h（x）＝x2－x在（0，1]上的最小值．
∵h′（x）＝2x－＝，由h′（x）＝0，（2－1）（4x＋2＋1）＝0.
∵4x＋2＋1>
0，∴2－1＝0，x＝.又∵x∈时，h′（x）<
0，x∈时，h′（x）>
0，∴x＝时，h（x）有最小值h＝－，∴a<
－.
21．（本小题满分12分）设f（x）＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f（0）·
f
（1）>
0，求证：
（1）方程f（x）＝0有实根；
（2）－2<
<
－1；
（3）设x1，x2是方程f（x）＝0的两个实根，则≤|x1－x2|<
.
（1）若a＝0，b＝－c，f（0）·
f
（1）＝c（3a＋2b＋c）＝－c2≤0，
与已知矛盾，所以a≠0.
方程3ax2＋2bx＋c＝0的判别式
Δ＝4（b2－3ac），由条件a＋b＋c＝0，消去b，得Δ＝4（a2＋c2－ac）＝4>
0.
故方程f（x）＝0有实根．
（2）由f（0）·
0，得c（3a＋2b＋c）>
由条件a＋b＋c＝0，消去c，得（a＋b）（2a＋b）<
∵a2>
0，∴<
0.故－2<
－1.
（3）由条件，知x1＋x2＝－，x1x2＝＝－，
∴（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝＋.
∵－2<
－1，∴≤（x1－x2）2<
.故≤|x1－x2|<
22．（本小题满分12分）（xx·
佛山一模）设函数f（x）＝的导函数为f′（x）（a为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）求实数a，使曲线y＝f（x）在点（a＋2，f（a＋2））处的切线斜率为－.
（1）函数f（x）的定义域是（－∞，a）∪（a，＋∞），对f（x）求导得：
f′（x）＝，
由f′（x）>
0得x>
a＋1；
由f′（x）<
0得x<
a或a<
a＋1，
所以f（x）在（－∞，a），（a，a＋1）上单调递减，在（a＋1，＋∞）上单调递增．
（2）由（Ⅰ）得f′（a＋2）＝，
令＝－得ea＋2＋a3＋6a2＋12a＋7＝0………①
令a＋2＝t，则有et＋t3－1＝0，
令h（t）＝et＋t3－1，则h′（t）＝et＋3t2>
0，
故h（t）是R上的增函数，又h（0）＝0，因此0是h（t）的唯一零点，即－2是方程①的唯一实数解，
故存在唯一实数a＝－2满足题设条件．
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