1819 章末综合测评2 数 列文档格式.docx
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C.-4D.-6
C [由题意,知a6≥0,a7<
0.
∴
∴-≤d<
-.
∵d∈Z,∴d=-4.]
4.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,a是b,c的等比中项,且a+3b+c=10,则a的值是( )
A.1B.-1
C.-3D.-4
D [由题意,得
解得a=-4,b=2,c=8.]
5.已知数列{an}的前n项和Sn=an-1(a≠0),则{an}( )
12232261】
A.一定是等差数列
B.一定是等比数列
C.或者是等差数列,或者是等比数列
D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列
C [∵Sn=an-1(a≠0),
∴an=
即an=
当a=1时,an=0,数列{an}是一个常数列,也是等差数列;
当a≠1时,数列{an}是一个等比数列.]
6.在等差数列{an}中,若a4=-4,a9=4,Sn是等差数列{an}的前n项和,则( )
A.S5<S6B.S5=S6
C.S7=S5D.S7=S6
C [因为a4+a9=a6+a7=0,
所以S7-S5=a6+a7=0,所以S7=S5.]
7.计算机的成本不断降低,若每隔5年计算机价格降低,现在的价格是8100元的计算机,则15年后价格降低为( )
12232262】
A.2200元B.900元
C.2400元D.3600元
C [由题意,可得第一个五年的价格变为8100×
,所以可知每5年的价格变动符合8100×
,其中n为5年的个数,由题知=3,所以15年后的价格为8100×
=2400元.]
8.已知数列{an}满足a1=5,anan+1=2n,则=( )
A.2B.4
C.5D.
B [依题意得==2,
即=2,数列a1,a3,a5,a7,…是一个以5为首项,2为公比的等比数列,因此=4.]
9.已知数列{an}是首项a1=4,公比q≠1的等比数列,且4a1,a5,-2a3成等差数列,则公比q等于( )
12232263】
A.B.-1
C.-2D.2
B [由题知2a5=4a1-2a3,所以2(4q4)=4×
4-2(4q2)解得q=1(舍)或q=-1.]
10.我们把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如图1所示:
图1
则第七个三角形数是( )
A.27B.28
C.29D.30
B [法一:
∵a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,a5=15,a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,
∴a6-a5=6,a6=21,a7-a6=7,a7=28.
法二:
由图可知第n个三角形数为,
∴a7==28.]
11.某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个,…,按此规律进行下去,7小时后细胞存活的个数是( )
12232264】
A.33个B.65个
C.66个D.129个
D [设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成数列{an},则即=2,所以{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以an-1=2n-1,an=2n-1+1,故7小时后细胞存活个数为28-1+1=129.]
12.在等差数列{an}中,a10<
0,a11>
0,且a11>
|a10|,则{an}的前n项和Sn中最大的负数为( )
A.S17B.S18
C.S19D.S20
C [∵a10<
|a10|,
∴a11+a10>
S20==10·
(a11+a10)>
S19==·
2a10<
0.]
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.等差数列{an}的通项公式为an=2n+1,其前n项和为Sn,则数列的前10项的和为________.
12232265】
75 [因为Sn==n2+2n,所以=n+2.
所以数列前10项的和为:
(1+2+…+10)+20=75.]
14.数列{an}满足a1=2,an=an-1+2n(n≥2),则an=________.
n(n+1) [由an=an-1+2n(n≥2),得an-an-1=2n,则a2-a1=4,a3-a2=6,a4-a3=8,…,an-an-1=2n把各式相加,得an-a1=4+6+8+…+2n,
∴an=2+4+6+…+2n=n(n+1).]
15.{an}是递增等差数列,前三项的和为24,前三项的积为384,则它的通项公式an=________.
12232266】
4n [设前三项分别为a-d,a,a+d,则a-d+a+a+d=24且a(a-d)(a+d)=384,解得a=8且d=±
4,又{an}递增,∴d>
0,即d=4,∴an=8+4(n-2)=4n.]
16.已知公差不为零的正项等差数列{an}中,Sn为其前n项和,lga1,lga2,lga4也成等差数列,若a5=10,则S5=________.
30 [设{an}的公差为d,则d≠0.
由lga1,lga2,lga4也成等差数列,
得2lga2=lga1+lga4,∴a=a1a4,
即(a1+d)2=a1(a1+3d),d2=a1d.
又d≠0,故d=a1,a5=5a1=10,d=a1=2,
S5=5a1+×
d=30.]
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程演算步骤)
17.(本小题满分10分)数列{an}对任意n∈N+,满足an+1=an+1,a3=2.
(1)求数列{an}通项公式.
(2)若bn=+n,求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
[解]
(1)由已知得an+1-an=1,数列{an}是等差数列,且公差d=1又a3=2,所以a1=0,所以an=n-1.
(2)由
(1)得,bn=+n,
所以Sn=(1+1)++…++n=1+++…++(1+2+3+…+n)
=+=+.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=,数列{xn}的通项由xn=f(xn-1)(n≥2且x∈N+)确定.
(1)求证:
是等差数列;
(2)当x1=时,求x2018.
12232267】
[解]
(1)证明:
∵xn=f(xn-1)=(n≥2且n∈N+),
∴==+,
∴-=(n≥2且n∈N+),
∴是等差数列.
(2)由
(1)知=+(n-1)×
=2+=.
∴==.
∴x2018=.
19.(本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=-1,=.
(1)求等比数列{an}的公比q;
(2)求a+a+…+a.
[解]
(1)由=,a1=-1,知公比q≠1,=-.由等比数列前n项和的性质知S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,故q5=-,q=-.
(2)由
(1),得an=(-1)×
,所以a=,所以数列{a}是首项为1,公比为的等比数列,故a+a+…+a==.
20.(本小题满分12分)在等差数列{an}中,Sn为其前n项和(n∈N+),且a2=3,S4=16.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
12232268】
[解]
(1)设等差数列{an}的公差是d,
由已知条件得
解得a1=1,d=2,∴an=2n-1.
(2)由
(1)知,an=2n-1,
∴bn==
=,
Tn=b1+b2+…+bn
=
==.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=,数列{an}满足a1=1,an+1=f,n∈N*.
(2)令bn=(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若Sn<
对一切n∈N*都成立,求最小的正整数m的值.
12232269】
[解]
(1)∵an+1=f==an+,
∴{an}是以a1=1为首项,为公差的等差数列,
∴an=n+.
(2)当n≥2时,
bn==
当n=1时,上式同样成立,
∴bn=.
∴Sn=b1+b2+…+bn
∵Sn<
对一切n∈N*都成立,即<
对一切n∈N*都成立.
又随着n的增大而增大,且<
,
∴≤,∴m≥2019.
∴最小的正整数m的值为2019.
22.(本小题满分12分)在1和100之间插入n个实数,使得这(n+2)个数构成递增的等比数列,将这(n+2)个数的积记作Tn,n∈N*.
(1)求数列{Tn}的通项公式;
(2)设bn=2lgTn-3,求数列的前n项和Sn.
[解]
(1)设a1=1,an+2=100,公比为q,则qn+1=100.
又Tn=a1·
a2·
a3·
…·
an+2=1×
q×
q2×
…×
qn+1=q1+2+3+…+(n+1)=q=100=10n+2.
∴数列{Tn}的通项公式Tn=10n+2
(2)bn=2lgTn-3=2(n+2)-3=2n+1,∴=,
∴Sn=+++…+,
则Sn=+++…++,
两式相减,得Sn=+2-
=+2×
-
=--,
∴Sn=5-.