学年高中数学第一单元基本初等函数Ⅱ疑难规律方法学案新人教B版必修4含答案Word格式文档下载.docx

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点评　本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解.

三、齐次式型求值

例3已知tanα＝2，求值：

（1）＝________；

（2）2sin2α－3cos2α＝________.

解析　

（1）因为cosα≠0，分子分母同除以cosα，

得＝＝＝－1.

（2）2sin2α－3cos2α＝，

因为cos2α≠0，分子分母同除以cos2α，

得＝＝＝1.

答案　

（1）－1　

（2）1

点评　这是一组在已知tanα＝m的条件下，求关于sinα、cosα的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点：

（1）一定是关于sinα、cosα的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式.

（2）因为cosα≠0，所以分子、分母可同时除以cosnα（n∈N＋）.这样可以将所求式化为关于tanα的表达式，整体代入tanα＝m的值求解.

2　单调不“单调”，应用很“奇妙”

三角函数的单调性是三角函数的重要性质之一，也是高考常考的内容.利用其可以方便地进行比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等.下面举例归纳该性质在解题中的具体应用，希望能对同学们的学习有所帮助.

一、信心体验——比较大小

例1比较cos，sin，－cos的大小.

解　因为sin＝cos（－）＝cos，－cos＝cos，又0<

<

，而y＝cosx在[0，π]上是减函数，所以cos>

cos>

cos，

即－cos>

sin>

cos.

点评　比较三角函数值的大小关键是利用三角函数某区间的单调性，一般按下列步骤进行.①将不同名的三角函数化为同名三角函数；

②用诱导公式将角化到同一单调区间，并比较角的大小.③由单调性得出各值的大小关系.

二、重拳出击——求解最值

例2　已知f（x）＝sin（2x－），x∈R.求函数f（x）在区间[，]上的最小值和最大值.

解　因为当2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），

即kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）时，

函数f（x）＝sin（2x－）单调递增；

当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），

即kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z）时，函数单调递减，

所以f（x）＝sin（2x－）在区间[，]上为增函数，在区间[，]上为减函数.

又f（）＝0，f（）＝，f（）＝－1.

故函数f（x）在区间[，]上的最大值为，最小值为－1.

点评　求三角函数的最值是一类重要的三角问题，也是考试中经常出现的考点，解题过程中要注意将ωx＋φ看作一个整体.利用三角函数的单调性求最值是三角函数基础知识的综合运用.

三、触类旁通——解不等式

例3若0≤α<

2π，sinα>

cosα，求α的取值范围.

解　当α＝时，不等式成立，当α＝时，不等式不成立.当α∈[0，）∪（，2π]时，cosα>

0，则原不等式可化为tanα>

，根据正切函数的单调性得，<

α<

；

同理可得，当α∈（，）时，<

.

综上，α的取值范围是（，）.

点评　利用三角函数的单调性解不等式，首先将三角函数化成某角的同一三角函数，然后利用单调性求解.

3　善用数学思想——巧解题

一、数形结合思想

例1在（0，2π）内，使sinx>

cosx成立的x的取值范围是________.

解析　在同一坐标系中画出y＝sinx，y＝cosx，x∈（0，2π）的图象如图.

由图知，x∈（，）.

答案　（，）

点评　求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单.

二、分类讨论思想

＝（－1）ncosα，n∈Z.

证明　当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，

左边＝

＝＝＝cosα.

右边＝（－1）2kcosα＝cosα，∴左边＝右边.

当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z，

＝＝＝－cosα.

右边＝（－1）2k－1cosα＝－cosα，∴左边＝右边.

综上所述，＝（－1）ncosα，

n∈Z成立.

点评　解答此类题目的关键在于正确应用诱导公式化简，如果被化简式子中的角是kπ±

α（k∈Z）的形式，往往对参数k进行讨论.常见的一些关于参数k的结论有sin（kπ＋α）＝（－1）ksinα（k∈Z）；

cos（kπ＋α）＝（－1）kcosα（k∈Z）；

sin（kπ－α）＝（－1）k＋1sinα（k∈Z）；

cos（kπ－α）＝（－1）kcosα（k∈Z）等.

三、函数与方程的思想

例3函数f（x）＝cosx－sin2x（≤x≤）的最大值是________.

解析　f（x）＝cosx－sin2x＝cos2x＋cosx－1

＝（cosx＋）2－，

设cosx＝t，因为≤x≤，所以由余弦函数的单调性可知，≤cosx≤，即≤t≤，又函数f（t）＝（t＋）2－在[，]上单调递增，故f（t）max＝f（）＝，所以f（x）的最大值为.

答案　

点评　遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值.

四、转化与化归思想

例4比较下列每组数的大小.

（1）tan1，tan2，tan3；

（2）tan（－）与tan（－）.

解　

（1）因为tan2＝tan（2－π），tan3＝tan（3－π），

又因为<

2<

π，所以－<

2－π<

0.

因为<

3<

3－π<

显然－<

1<

而y＝tanx在（－，）内是增函数，

所以tan（2－π）<

tan（3－π）<

tan1，

即tan2<

tan3<

tan1.

（2）tan（－）＝－tan，tan（－）＝－tan.

因为0<

，且y＝tanx在（0，）内单调递增，所以tan<

tan.所以－tan>

－tan，

即tan（－）>

tan（－）.

点评　三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的化归与转化思想.

4　三角函数的性质总盘点

三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象.下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会.

一、定义域

例1函数y＝的定义域为________.

解析　由题意得cosx≥，

所以2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.

即函数的定义域是[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z.

答案　[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z

点评　解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解.

二、值域与最值

例2函数y＝cos（x＋），x∈（0，]的值域是________.

解析　因为0<

x≤，所以<

x＋≤π，

f（x）＝cosx的图象如图可知：

cosπ≤cos（x＋）<

cos，即－≤y<

故函数的值域是[－，）.

答案　[－，）

点评　解本题的关键是从x的范围入手，先求得ωx＋φ的范围，再结合余弦函数的图象对应得出cos（ωx＋φ）的范围，从而可得函数的值域或者最值.

三、单调性

例3已知函数f（x）＝sin（－2x），求：

（1）函数f（x）的单调递减区间；

（2）函数f（x）在[－π，0]上的单调递减区间.

解　由f（x）＝sin（－2x）可化为f（x）＝－sin（2x－）.所以原函数的递减区间即为函数y＝sin（2x－）的递增区间.

（1）令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以f（x）＝sin（－2x）的递减区间为

[kπ－，kπ＋]，k∈Z.

（2）在减区间[kπ－，kπ＋]，k∈Z中，

令k＝－1、0时，可以得到当x∈[－π，0]时，

f（x）＝sin（－2x）的递减区间为

[－π，－]，[－，0].

点评　解本题的关键是先把函数化为标准形式y＝sin（ωx＋φ），ω>

0，然后把ωx＋φ看做一个整体，根据y＝sinx的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；

如果要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的k进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间.

四、周期性与对称性

例4已知函数f（x）＝sin（2ωx－）（ω>

0）的最小正周期为π，则函数f（x）的图象的一条对称轴方程是（　　）

A.x＝B.x＝C.x＝D.x＝

解析　由T＝π＝，得ω＝1，

所以f（x）＝sin（2x－），

由2x－＝＋kπ，k∈Z，

解得f（x）的对称轴为x＝＋，k∈Z，

所以x＝为f（x）的一条对称轴，选C.

答案　C

点评　解本题的关键是先由周期公式求得ω的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：

一种是直接求得函数的对称轴；

另一种是根据对称轴的特征——对应的函数值为函数的最值解决.同样地，求解对称中心也有两种方法.

五、奇偶性

例5　若函数f（x）＝sin（φ∈[0，2π））是偶函数，则φ等于（　　）

A.B.C.D.

解析　函数是偶函数，所以函数关于x＝0对称；

由＝＋kπ可得函数的对称轴方程是x＝＋3kπ－φ，k∈Z，令＋3kπ－φ＝0，

解得φ＝＋3kπ，k∈Z，

又φ∈[0，2π），故φ＝.

点评　解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：

偶函数⇔函数图象关于y轴对称；

奇函数⇔函数图象关于原点对称.

5　数形结合百般好，形象直观繁琐少

——构建正弦、余弦函数图象解题

正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题.

一、确定函数的值域

例1　定义运算a※b为a※b＝例如，1※2＝1，则函数f（x）＝sinx※cosx的值域为（　　）

A.[－1，1]B.

C.D.

解析　根据题设中的新定义，得f（x）＝作出函数f（x）

在一个周期内的图象，如图可知函数f（x）的值域为.

点评　有关三角函数的值域的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.

二、确定零点个数

例2　函数f（x）＝x－sinx在区间[0，2π]上的零点个数为________.

解析　在同一直角坐标系内，画出y＝x及y＝sinx的图象，由图象可观察出交点个数为2.

答案　2

点评　有关三角函数的交点个数的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.

三、确定参数的值

例3　已知f（x）＝sin（ωx＋）（ω>

0），f＝f，且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝______________.

解析　∵f（x）＝sin（