《计算机应用数学》教案第3章 导数的应用Word下载.docx

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入

我们可否利用导数与微分这一方法来分析和研究函数的性质、图形以及各种形态？

重

点

与

难

讲

解

方

法

数形结合，通过图形来讲解说明相关定理

教

学

小

结

知识小结

1、了解几个中值定理的证明过程

2、洛必达法则

教后札记

改进措施

后

作

业

习题3.1

1.

（1）

（2）（3）（4）

2.

3.

教学过程：

一、知识回顾

导数的几何意义？

导数的求法？

二、新课导入

我们可否利用导数与微分这一方法来分析和研究函数的性质、图形以及各种形态？

三、新课内容

1、拉格朗日（Lagrange）中值定理

若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在内至少有一点，使成立.

罗尔（Rolle）中值定理

若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则在内至少有一点，使成立.

柯西（Cauchy）中值定理

若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且在开区间内，则在内至少有一点，使成立.

令，则，，，这时柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理，可见拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形.

2、（洛必达法则I）若

（1），；

（2）与在的某去心邻域内可导，且；

（3）存在，（或为），则

．

（洛必达法则Ⅱ）若

在定理4.2.1和4.2.2中，若把换成，，，或时，只需对两定理中的假设

（2）作相应的修改，结论仍然成立．

【例题精讲】

例1验证拉格朗日中值定理对函数在闭区间上的正确性.

解：

显然函数在上连续，又在内可导，即满足拉格朗日中值定理的条件，所以该函数在内至少存在一点，使

，即，得，

这就说明了拉格朗日中值定理对函数在闭区间上是正确的.

例2验证罗尔中值定理对函数在闭区间上的正确性.

显然函数在上连续，又在内可导，且，即满足罗尔中值定理的条件，所以该函数在内至少存在一点，使

这就说明了罗尔定理对函数在闭区间上是正确的.

例3求极限.

这是型不定式，由洛必达法则，得

.

例4求极限.

例5求极限.

【课堂练习】

例1求极限.

例2求极限.

【问题思考】

求极限

【知识小结】

1、了解几个中值定理的证明过程；

2、洛必达法则.

【课后作业】

四、板书设计

课题

一、

二、

三、

课堂练习

例1

例2

重点：

难点：

第3章3.1中值定理和洛必达法3.2函数的单调性和极值

灵活利用洛必达法则求极限，会求函数的单调区间

利用洛必达法则求极限，函数的单调性

极限

一定要先把定理说清楚，再把各种类型的例题精讲，精练.

1、洛必达法则；

2、函数的单调性.

1.（13）（14）

习题3.2

3.

（1）（3）

洛必达法则和型未定式的求法

极限

1、如，，，，等不定式也可通过适当转化，化成型或型的不定式后再计算.

（1）型

若，，则就构成了型不定式，它可以作如下变换：

（型）或（型）.

（2）型

此类型可以通过通分转化为型或型不定式.

（3），，型

此类型可以通过取对数进行如下转化：

2、定理（函数单调性判别定理）

设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则

1）若对任意，有,则在上严格单调增加；

2）若对任意，有,则在上严格单调减少.

因为，而，所以.

例4讨论函数的单调性.

如图3.4所示，函数的定义域为，当时，；

当时，函数的导数不存在．当时，；

当时，，故函数在内单调减少，在内单调增加.

例5求函数的单调区间.

函数的定义域为.又，令，得.

列表分析如下：

所以函数的单调增加区间为，单调减少区间为.

因为，而

，所以.

（利用等价无穷小量代换）

例3求函数的单调区间.

函数的定义域为，函数在整个定义域内可导，且.

令，得.当时，；

当时，，所以函数在上单调减少，在上单调增加.

例4求函数的单调区间.

函数的定义域为．又，令，得，.

1

所以函数的单调增加区间为和，单调减少区间为.

例5中导数为0的点是最大值和最小值吗？

1.

（1）

（2）

第3章3.2函数的单调性和极值

会求函数的极值点和单调区间

函数的极值点和单调区间

例5中导数为0的点是最大值和最小值吗？

一定要说明极值点和最值点的区别与联系，重点讲解第一充分条件.

函数的单调区间的求法。

定义设函数在的某邻域内有定义．若对该邻域内任意一点（），都有（），则称为的一个极大值（极小值），称为极大值点（极小值点）．

极值存在的必要条件若函数在点的某邻域内可导且在处取得极值，则必有.

定义使成立的点称为的驻点.

定理（极值的第一充分条件）

设函数在点的某邻域内可导且，则

1）若当时，，而当时，，则在处取得极大值，是极大值点，为极大值.

2）若当时，，而当时，，则在处取得极小值，是极小值点，为极小值.

3）若当（）时，不变号，则不是极值点，不是极值.

根据以上定理，我们可以归纳出求函数的单调性和极值的步骤如下：

1）确定函数的定义域；

2）求出一阶导数以及在定义域内的驻点（）和不存在的点；

3）列表分析在驻点和不可导点的左右附近的符号情况；

4）根据分析和定理确定出函数的单调区间和极值.

定理（极值的第二充分条件）

设函数在点处具有二阶导数，且,，则

1）当时，函数在点处取得极大值；

2）当时，函数在点处取得极小值.

例1例3.16中函数在处导数不存在，但其导数在该点左右两侧的符号由负变正，所以是函数的极小值点.例3.17中函数在处导数为零且其导数在左右两侧的符号由负变正，所以是函数的极小值点．

例2求函数的单调增减区间和极值.

函数的定义域为．又，令，得.

列表分析如下:

↘

极小值

↗

所以函数的单调增加区间为，单调减少区间为；

函数在处取得极小值.

例3求函数的极值.

函数的定义域为．又,，令，得,,且,，所以函数在处取得极大值，在处取得极小值.

例1求函数的单调区间和极值.

函数的定义域为．又，令，得，当时，不存在.

不存在

极大值0

所以函数的单调增加区间为、,单调减少区间为；

函数在点处有极大值,在点处有极小值.

知道函数的单调性和极值，能准确把握函数的图像吗？

函数的极值点和单调区间。

第3章3.3函数的凹凸区间和拐点

会求函数的凹凸区间和拐点

函数的凹凸区间和拐点

函数凹凸性的定义要慢讲，细讲，多画图，让学生能直观的认识到凹凸性表现在图像上样子.

习题3.3

1.

（1）（3）

函数的单调区间和极值的求法。

知道函数的单调性和极值，能准确把握函数的图像吗？

定义若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，则称这段弧是凹的；

若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方，则称这段弧是凸的.

定理设函数在上连续，在内具有二阶导数，则

1）若在内，,则的图形在上是凹的；

2）若在内，,则的图形在上是凸的.

定义连续曲线上的凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点.

求曲线的凹凸性和拐点的一般步骤为：

1）确定函数的定义域；

2）求出的二阶导数以及在定义域内的点和不存在的点；

3）列表分析的点和不存在的点左右附近的符号情况；

4）根据分析和定理确定出函数的凹凸区间和拐点.

例1判断曲线的凹凸性.

函数的定义域为.又，，当时，，所以曲线在上是凹的.

例2求曲线在的拐点.

，，令,得.

列表分析如下：

拐点

所以曲线的拐点为.

例3求曲线的凹凸区间及拐点.