关于的中国的邮递员问地的题目和欧拉图地的应用文档格式.docx
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的每一个极大连通子图都有一条欧拉回路。
性质2设C1、C2是图G的两个没有公共边，但有至少一个公共顶点的简单回路，我们
可以将它们合并成一个新的简单回路C'
。
欧拉回路算法:
1
在图G中任意找一个回路C;
2
将图G中属于回路C的边删除；
3
在残留图的各极大连通子图中分别寻找欧拉回路；
4
将各极大连通子图的欧拉回路合并到C中得到图G的欧拉回路。
由于该算法执行过程中每条边最多访问两次，因此该算法的时间复杂度为0（|E|）。
如果使用递归形式，得注意|E|的问题。
使用非递归形式防止栈溢出。
如果图是有向图，我们仍然可以使用以上算法。
有向图欧拉图和半欧拉图判定
Online/problem?
id=2337输出路径
中国邮递员问题①：
一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的每一条街道，可重复走一条街道，然后返回邮局。
所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值。
分析：
双向连通，即给定无向图G。
如果G不连通，则无解。
如果G是欧拉图，则显然欧拉回路就是最优路线。
如果G连通，但不是欧拉图，说明图中有奇点[3]。
奇点都是成对出现的，
证明从略。
对于最简单情况，即2个奇点，设（u,v）。
我们可以在G中对（u,v）求最短路径R,构造出新图G'
=GUR。
此时G'
就是欧拉图。
证明：
u和v加上了一条边，度加一，改变了奇偶性。
而R中其他点度加二，奇偶性不变。
由此可知，加一次R,能够减少两个奇点。
推广到k个奇点的情况，加k/2个R就能使度全为偶数。
接下的问题是求一个k个奇点的配对方案，使得k/2个路径总长度最小。
这个就是无向完全图最小权匹配问题。
有一种Edmonds算法，时间复杂度0（“铝）。
[4]
也可转换为二分图，用松弛优化的KM算法，时间复杂度也是0（NT）。
完整的算法流程如下:
1如果G是连通图，转2，否则返回无解并结束;
2检查G中的奇点，构成图H的顶点集;
3求出G中每对奇点之间的最短路径长度，作为图H对应顶点间的边权;
4对H进行最小权匹配;
5把最小权匹配里的每一条匹配边代表的路径，加入到图G中得到图G'
6在G'
中求欧拉回路，即所求的最优路线。
中国邮递员问题②：
和①相似，只是所有街道都是单向通行的。
单向连通，即给定有向图G。
和①的分析一样，我们来讨论如何从G转换为欧拉图G'
首先计算每个顶点v的入度与出度之差d'
（v）。
如果G中所有的v都有d'
（v）=0,那
么G中已经存在欧拉回路。
d'
（v）＞0说明得加上出度。
（v）＜0说明得加上入度。
而当d'
（v）=0,则不能做任何新增路径的端点。
可以看出这个模型很像网络流模型。
顶点d'
（v）＞0对应于网络流模型中的源点，它发出d'
（v）个单位的流；
顶点d'
（v）
<
0对应于网络流模型中的汇点，它接收-d'
（v）个单位的流；
而d'
（v）=0的顶点，则
对应于网络流模型中的中间结点，它接收的流量等于发出的流量。
在原问题中还要求增加的
路径总长度最小，我们可以给网络中每条边的费用值设为图中对应边的长度。
这样，在网
络中求最小费用最大流，即可使总费用最小。
这样构造网络N:
1其顶点集为图G的所有顶点，以及附加的超级源和超级汇；
2对于图G中每一条边（u,v），在N中连边（u,v），容量为费用为该边的长度;
3从源点向所有d'
（v）>
0的顶点v连边（s,v），容量为d'
（v），费用为0;
4从所有d'
（v）<
0的顶点向汇点t连边（u,t），容量为-d'
（v），费用为0。
完整的算法流程如下：
1如果G的基图连通且所有顶点的入、出度均不为0,转2,否则返回无解并结束;
2计算所有顶点v的d'
（v）值；
3构造网络N;
4在网络N中求最小费用最大流；
5对N中每一条流量f（u,v）的边（u,v），在图G中增加f（u,v）次得到G'
;
中求欧拉回路，即为所求的最优路线。
NPC问题：
如果部分街道能够双向通行，部分街道只能单向通行。
这个问题已被证明是NPC的。
[5]
[1]大城市邮政投递问题及其算法研讨
[2]忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图。
[3]度为奇数的顶点称为奇点。
[4]J.Edmonds,E.Johnson
《Matching,Eulertours,andtheChinesepostman
[5]C.Papadimitriou
《Thecomplexityofedgetraversing
中国邮递员问题的C++实现源代码
//PKU2337
#include<
cstdio>
string>
vector>
stack>
#include<
algorithm>
usingnamespacestd;
constintMAX=1100;
charstr[MAX][25];
intn,in[MAX],out[MAX];
vector<
words[30];
intvis[30];
intf[30],ss,is,os,ps;
intseq[MAX],step;
voidfind_euler（intpos）
•••{
inti,j;
while（out[pos]）...{
for（;
vis[pos]<
words[pos].size（）;
）...{
stringsnext=words[pos][vis[pos]];
j=snext[snext.length（）-1]」a'
out[pos]--;
vis[pos]++;
find_euler（j）;
}
seq[step++]=pos;
voidunion_f（ints,inte）
intts=s,te=e;
while（s!
=-1&
&
f[s]!
=s）...{s=f[s];
if（s==-1）...{
f[ts]=s=ts;
while（e!
f[e]!
=e）...{intt=e;
e=f[e];
f[t]=s;
if（e>
=0）...{
f[e]=s;
intmain（）
...{
intt,i,j;
scanf（"
%d"
&
t）;
while（t--）...{
scanf（"
n）;
getchar（）;
for（i=0;
i<
30;
i++）words[i].clear（）;
memset（in,O,sizeof（in））;
memset（out,0,sizeof（out））;
memset（f,-1,sizeof（f））;
ss=is=os=ps=0;
i<
n;
i++）...{
gets（str[i]）;
intlen=strlen（str[i]）;
intchs=str[i][O]-'
a'
intche=str[i][len-1]-'
a'
words[chs].push_back（string（str[i]））;
in[che]++;
out[chs]++;
union_f（chs,che）;
boolflag=true;
if（f[i]==i）ss++;
if（in[i]==out[i]+1）os++;
elseif（in[i]+1==out[i]）is++;
elseif（in[i]!
=out[i]）flag=false;
if（ss>
1）flag=false;
if（!
（os==0&
is==0）&
!
（os==1&
is==1））flag=false;
if（!
flag）...{
puts（"
***"
）;
else...{
intspos;
if（os==1&
is==1）...{
i++）...{
if（in[i]+1==out[i]）...{
spos=i;
break;
if（f[i]!
=-1）...{
i++）sort（words[i].begin（）,words[i].end（））;
step=0;
memset（vis,0,sizeof（vis））;
find_euler（spos）;
〃memset（vis,0,sizeof（vis））;
for（i=step-1;
i>
0;
i--）...{
spos=seq[i];
stringsnext;
for（j=0;
j<
words[spos].size（）;
j++）...{
snext=words[spos][j];
if（seq[i-1]==snext[snext.length（）-1]」a'
）...{words[spos].erase（words[spos].begin（）+j）;
break;
printf（"
%s"
snext.c_str（））;
if（i>
1）putchar（'
.'
puts（””）;
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