高考数学文复习练习第1部分专题2 数列 专题限时集训5含答案Word格式.docx

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1＝.故选A.]

3.＋＋＋…＋的值为（　　）

A.B.－

C.－D.－＋

C　[∵＝＝

＝，

∴＋＋＋…＋＝

＝

＝－.]

4．（2017·

广州二模）数列{an}满足a2＝2，an＋2＋（－1）n＋1an＝1＋（－1）n（n∈N*），Sn为数列{an}的前n项和，则S100＝（　　）

A．5100B．2550

C.2500D．2450

B　[由an＋2＋（－1）n＋1an＝1＋（－1）n（n∈N*），可得a1＋a3＝a3＋a5＝a5＋a7＝…＝0，a4－a2＝a6－a4＝a8－a6＝…＝2，由此可知，数列{an}的奇数项相邻两项的和为0，偶数项是首项为a2＝2、公差为2的等差数列，所以S100＝50×

0＋50×

2＋×

2＝2550，故选B.]

5．（2017·

呼和浩特一模）等差数列{an}中，a2＝8，前6项的和S6＝66，设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，则Tn＝（　　）

A．1－B．1－

C.－D.－

D　[由题意得解得

所以an＝2n＋4，因此bn＝＝＝－，所以Tn＝－＋－＋…＋－＝－，故选D.]

二、填空题

6．（2016·

西安模拟）设Sn是数列{an}的前n项和，an＝4Sn－3，则S4＝__________.

【04024064】

　[∵an＝4Sn－3，∴当n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1，当n≥2时，∵4Sn＝an＋3，∴4Sn－1＝an－1＋3，∴4an＝an－an－1，∴＝－，∴{an}是以1为首项，－为公比的等比数列，∴S4＝＝×

＝.]

7．（2017·

东北三省四市联考）《九章算术》是我国第一部数学专著，下面有源自其中的一个问题：

“今有金箠（chuí

），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？

”意思：

“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；

在细的一端截下1尺，重2斤；

问金箠重多少斤？

”根据上面的已知条件，若金箠由粗到细的重量是均匀变化的，则答案是________．

15斤　[由题意可知金箠由粗到细各尺的重量成等差数列，且a1＝4，a5＝2，则S5＝＝15，故金箠重15斤．]

8．（2016·

广州二模）设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1（n∈N*），则数列的前n项和为__________．

　[令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k－1＋12，解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，＝＝＝，则数列的前n项和为＋＋…＋＝＝.]

三、解答题

9．（2017·

全国卷Ⅲ）设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝2n.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

[解]

（1）因为a1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝2n，故当n≥2时，2分

a1＋3a2＋…＋（2n－3）an－1＝2（n－1），

两式相减得（2n－1）an＝2，

所以an＝（n≥2）．4分

又由题设可得a1＝2，满足上式，

所以{an}的通项公式为an＝．6分

（2）记的前n项和为Sn.

由

（1）知＝＝－，9分

则Sn＝－＋－＋…＋－＝．12分

10．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.

【04024065】

[解]

（1）因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①

所以当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②2分

①－②得3n－1an＝，所以an＝（n≥2）．6分

在①中，令n＝1，得a1＝，满足an＝，所以an＝（n∈N*）．6分

（2）由

（1）知an＝，故bn＝＝n×

3n.

则Sn＝1×

31＋2×

32＋3×

33＋…＋n×

3n，③

3Sn＝1×

32＋2×

33＋3×

34＋…＋n×

3n＋1，④8分

③－④得－2Sn＝3＋32＋33＋34＋…＋3n－n×

3n＋1＝－n×

3n＋1，

11分

所以Sn＝＋（n∈N*）．12分

[B组　名校冲刺]

1．已知函数y＝loga（x－1）＋3（a>

0，a≠1）所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10等于（　　）

A.　　　　　　B．

C.D.

B　[y＝loga（x－1）＋3恒过定点（2,3），

即a2＝2，a3＝3，又{an}为等差数列，

∴an＝n，∴bn＝，

∴T10＝1－＝，故选B.]

2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：

“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：

有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（　　）

A．192里B．96里

C．48里D．24里

B　[由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．故选B.]

3．（2017·

湘潭三模）已知Tn为数列的前n项和，若m＞T10＋1013恒成立，则整数m的最小值为（　　）

A．1026B．1025

C．1024D．1023

C　[由＝1＋得Tn＝n＋＝n＋1－，

所以T10＋1013＝11－＋1013＝1024－，

又m＞T10＋1013，所以整数m的最小值为1024，故选C.]

4．已知数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于（　　）

A．445B．765

C．1080D．3105

B　[∵an＋1＝an＋3，∴an＋1－an＝3，∴{an}是以－60为首项，3为公差的等差数列，

∴an＝－60＋3（n－1）＝3n－63.

令an≤0，得n≤21，∴前20项都为负值．

∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝－（a1＋a2＋…＋a20）＋a21＋…＋a30＝－2S20＋S30.

∵Sn＝n＝×

n，∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝765，故选B.]

5．（2016·

山西四校联考）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·

an＝2n（n∈N*），则S2016＝__________.

【04024066】

3×

21008－3　[∵数列{an}满足a1＝1，an＋1·

an＝2n①，

∴n＝1时，a2＝2，n≥2时，an·

an－1＝2n－1②，∵①÷

②得＝2，∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2016＝＋＝3×

21008－3.]

6．（2017·

合肥二模）已知数列{an}中，a1＝2，且＝4（an＋1－an）（n∈N*），则其前9项的和S9＝________.

1022　[由＝4（an＋1－an）可得a－4an＋1an＋4a＝0，则（an＋1－2an）2＝0，即an＋1＝2an，又a1＝2，所以数列{an}是首项和公比都是2的等比数列，则其前9项的和S9＝＝210－2＝1022.]

福州一模）已知等差数列{an}的各项均为正数，其公差为2，a2a4＝4a3＋1.

（2）求a1＋a3＋a9＋…＋a3n.

[解]

（1）依题意，an＝a1＋2（n－1），an＞0．2分

因为a2a4＝4a3＋1，

所以（a1＋2）（a1＋6）＝4（a1＋4）＋1，4分

所以a＋4a1－5＝0，

解得a1＝1或a1＝－5（舍去），5分

所以an＝2n－1．6分

（2）由

（1）知，a1＋a3＋a9＋…＋a3n

＝（2×

1－1）＋（2×

3－1）＋（2×

32－1）＋…＋（2×

3n－1）7分

＝2（1＋3＋32＋…＋3n）－（n＋1）9分

＝2×

－（n＋1）11分

＝3n＋1－n－2．12分

8．已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.

（1）令cn＝，求数列{cn}的通项公式；

（2）若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.

[解]

（1）因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0（bn≠0，n∈N*），

所以－＝2，2分

即cn＋1－cn＝2.3分

又c1＝＝1，

所以数列{cn}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故cn＝2n－1.5分

（2）由bn＝3n－1知an＝cnbn＝（2n－1）3n－1，7分

于是数列{an}的前n项和

Sn＝1·

30＋3·

31＋5·

32＋…＋（2n－1）·

3n－1，8分

3Sn＝1·

31＋3·

32＋…＋（2n－3）·

3n－1＋（2n－1）·

3n，9分

相减得－2Sn＝1＋2·

（31＋32＋…＋3n－1）－（2n－1）·

3n＝－2－（2n－2）3n，11分

所以Sn＝（n－1）3n＋1．12分