难题突破专题七 图形变换综合探究题.docx

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难题突破专题七图形变换综合探究题

难题突破专题七　图形变换综合探究题

图形的轴对称、平移、旋转是近年中考的新题型、热点题型，它主要考查学生的观察与实验能力，探索与实践能力，因此在解题时应注意以下方面：

1．熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质和基本方法．

2．结合具体问题大胆尝试，动手操作平移、旋转，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法．

3．注重图形与变换的创新题，弄清其本质，掌握其基本的解题方法，尤其是折叠与旋转等．

类型1　平移变换问题

1两个三角板ABC，DEF按如图Z7－1所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点、线都在同一平面内），其中，∠C＝∠DEF＝90°，∠ABC＝∠F＝30°，AC＝DE＝6cm.现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．

（1）当点C落在边EF上时，x＝________cm；

图Z7－1

（2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N，直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．

例题分层分析

（1）当点C落在EF边上时记为C′，此时A点的对应点记为A′，根据锐角三角函数，可得A′E＝________cm，所以x＝AA′＝AE－A′E＝______cm.

（2）分类讨论：

①当0≤x≤6时，根据三角形的面积公式可得答案；②当6＜x≤12时，根据面积的和差可得答案；③当12＜x≤15时，根据面积的和差可得答案．

（3）根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短，可得当NM⊥BD时，MN最小．根据线段的和差即可求得答案．

类型2　折叠问题

2[2015·衢州]如图Z7－2①，将矩形ABCD沿DE折叠使顶点A落在点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②.

（1）求证EG＝CH；

（2）已知AF＝，求AD和AB的长．

图Z7－2

例题分层分析

（1）由折叠的性质及矩形的性质可知________＝________＝________，__________＝________，再根据四边形ABCD是矩形，可得____________＝________，等量代换即可证明EG＝CH；

（2）由折叠的性质可知∠ADE＝________°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝，那么DG＝________，利用勾股定理求出DF＝________，于是可得AD＝AF＋DF＝________；再利用AAS证明△AEF≌△BCE，得到____________，于是AB＝AE＋BE＝________．

解题方法点析

折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决折叠问题要注意折叠前后对应点的位置；掌握辅助线的作法；折痕两边折叠部分是全等的；折叠的某点与所落位置之间线段被折痕垂直平分．

类型3　旋转变换问题

3[2016·成都]如图Z7－3①，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连结BD.

图Z7－3

（1）求证：

BD＝AC；

（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连结AE.

（ⅰ）如图②，当点F落在AC上时（F不与C重合），若BC＝4，tanC＝3，求AE的长；

（ⅱ）如图③，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连结GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．

例题分层分析

（1）先判断出AH＝BH，再证明△BHD≌△AHC即可；

（2）（ⅰ）在Rt△AHC中，tanC＝________＝3.由AH＝BH及BC＝4可求得AH＝________，CH＝________，过点H作HP⊥AE于P，然后根据△EHA∽△FHC，得到HP＝________AP，AE＝________AP，最后用勾股定理求解即可；

（ⅱ）设AH与CG交于点Q.先判断出△AGQ∽△CHQ，得到________，然后判断出△AQC∽△GQH，最后用相似比求解即可．

专题训练

1．[2017·菏泽]如图Z7－4，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是（　　）

A．55°B．60°C．65°D．70°

图Z7－4图Z7－5

2．[2017·舟山]如图Z7－5，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，1）．若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（　　）

A．向左平移1个单位，在向下平移1个单位

B．向左平移（－1）个单位，再向上平移1个单位

C．向右平移（－1）个单位，再向上平移1个单位

D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位

3．[2016·聊城]如图Z7－6，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为（　　）

A．115°B．120°C．130°D．140°

图Z7－6图Z7－7

4．[2016·温州]如图Z7－7，一张三角形纸片ABC，其中∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.现小林将纸片做三次折叠：

第一次使点A落在C处，将纸片展平做第二次折叠，使点B落在C处，再将纸片展平做第三次折叠，使点A落在B处．这三次折叠的折痕长依次记为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．c>a>bB．b>a>cC．c>b>aD．b>c>a

5．[2017·贵港]如图Z7－8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连结PM.若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（　　）

图Z7－8

A．4B．3C．2D．1

6．如图Z7－9，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB，BC上（含端点），且AB＝6，BC＝10.设AE＝x，则x的取值范围是________．

图Z7－9

7．[2017·武汉]如图Z7－10，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°.若BD＝2CE，则DE的长为________．

图Z7－10

8．如图Z7－11，是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC和△A1B1C1，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板A1B1C1的斜边A1B1上．当∠A＝30°，AC＝10时，两直角顶点C，C1的距离是________．

图Z7－11图Z7－12

9．[2017·德阳]如图Z7－12，将△ABC沿BC翻折得到△DBC，再将△DBC绕点C逆时针旋转60°得到△FEC，延长BD交EF于H，已知∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，AC＝1，则四边形CDHF的面积为________．

10．[2017·舟山]一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12cm（如图Z7－13①），点G为边BC（EF）的中点，边FD与AB相交于点H，现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图Z7－13②），在∠CGF从0°到60°的变化过程中，观察点H的位置变化，点H相应移动的路径长共为________．（结果保留根号）

图Z7－13

11．[2017·自贡]如图Z7－14①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（－1，0），点B（0，）．

（1）求∠BAO的度数．

（2）如图①，将△AOB绕点O顺时针旋转得△A′OB′，当点A′恰好落在AB边上时，设△AB′O的面积为S1，△BA′O的面积为S2，S1与S2有何关系？

为什么？

（3）若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图Z7－14②所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗？

证明你的判断．

图Z7－14

12．[2017·赤峰]△OPA和△OQB分别是以OP，OQ为直角边的等腰直角三角形，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．

（1）当∠AOB＝90°时，如图Z7－15①，连结PE，QE，直接写出EP与EQ的大小关系；

（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时，如图Z7－15②，

（1）中的结论是否成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．

（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC，QD交于点G，使△ABG为等边三角形，如图Z7－15③，求∠AOB的度数．

图Z7－15

参考答案

类型1　平移变换问题

例1　【例题分层分析】

（1）3　15

解：

（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，

则∠BAC＝60°，AB＝2AC＝12cm，BC＝6cm.

如图①，当点C在EF上时，∠C′A′E＝60°，则A′E＝A′C′＝3cm，

所以AA′＝AE－A′E＝15cm.故x＝15cm.

（2）如图②，当0≤x≤6时，BD＝x，DG＝x，

则BG＝x，所以y＝DG·BG＝x2.

如图③，当6

则DG＝x，BG＝x，EH＝（x－6），

所以y＝DG·BG－EH·BE＝x2－（x－6）2＝－x2＋2x－6.

如图④，当12

则EH＝（x－6），

则y＝AC·BC－EH·BE＝18－（x－6）2＝－x2＋2x＋12.

（3）当NM⊥BD时，MN最小．

如图⑤，由题意可知DN＝FN＝DF＝6cm，DP＝DN＝3cm，则PN＝3cm.

BM＝CM＝BC＝3cm，则PM＝cm，

所以MN＝PN－PM＝cm.

故点M，N之间距离的最小值为cm.

类型2　折叠问题

例2　【例题分层分析】

（1）AE　AD　EG　BC　CH　AD　BC

（2）45　　2　＋2　AF＝BE　2＋2

解：

（1）证明：

由折叠知AE＝AD＝EG，BC＝CH，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∴EG＝CH.

（2）∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝，

∴DG＝FG＝，DF＝2，

∴AD＝AF＋DF＝＋2.

由折叠知∠AEF＝∠GEF，∠BEC＝∠HEC，

∴∠GEF＋∠HEC＝90°，∠AEF＋∠BEC＝90°.

∵∠AEF＋∠AFE＝90°，

∴∠BEC＝∠AFE.

在△AEF与△BCE中，

∴△AEF≌△BCE，∴AF＝BE，

∴AB＝AE＋BE＝＋2＋＝2＋2.

类型3　旋转变换问题

例3　【例题分层分析】

（2）（ⅰ）　3　1　3　2　（ⅱ）＝

解：

（1）证明：

在Rt△AHB中，∠ABH＝45°，

∴AH＝BH.

在△BHD和△AHC中，

∴△BHD≌△AHC，∴BD＝AC.

（2）（ⅰ）如图，

在Rt△AHC中，

∵tanC＝3，∴＝3.

设CH＝x，则BH＝AH＝3x，

∵BC＝4，∴3x＋x＝4，

∴x＝1，

∴AH＝3，CH＝1.

由旋转知，∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，CH＝DH＝FH＝1，

∴∠EHA＝∠FHC，＝＝1，

∴△EHA∽△FHC，∴∠EAH＝∠C，

∴tan∠EAH＝tanC＝3.

过点H作HP⊥AE于点P，

则HP＝3A