数值分析MATLAB上机实验文档格式.docx

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包含大量计算算法的集合，拥有600多个工程中要用到的数学运算函数。

4出色的图像处理功能，可以方便地输出二维图像，便于我们绘制函数图像。

目　录

1第一题 4

1.1实验目的 4

1.2实验原理和方法 4

1.3实验结果 5

1.3.1最佳平方逼近法 5

1.3.2拉格朗日插值法 7

1.3.3对比 8

2第二题 9

2.1实验目的 9

2.2实验原理和方法 10

2.3实验结果 10

2.3.1第一问 10

2.3.2第二问 11

2.3.3第三问 11

3第三题 12

3.1实验目的 12

3.2实验原理和方法 12

3.3实验结果 12

4MATLAB程序 14

1第一题

某过程涉及两变量x和y，拟分别用插值多项式和多项式拟合给出其对应规律的近似多项式，已知xi与yi之间的对应数据如下：

34.6588

40.3719

14.6448

-14.2721

-13.3570

24.8234

75.2795

103.5743

97.4847

78.2392

⑴请用次数分别为3，4，5，6的多项式拟合并给出最好近似结果f（x）。

⑵请用插值多项式给出最好近似结果。

1.1实验目的：

学习逼近和插值的原理和编程方法，由给出的已知点构造多项式，在某个范围内近似代替已知点所代表的函数，以便于简化对未知函数的各种计算。

1.2试验原理和方法：

实验原理：

拉格朗日插值法中先构造插值基础函数：

lkx=j=0j≠knx-xixk-xik=0,1,2,⋯,n，然后构造出拉格朗日多项式：

pnx=k=0nj=0j≠knx-xixk-xifxk。

最佳平方逼近中，设逼近函数Pnx=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，逼近函数和真实函数之差r=Pnx-y，r1r2⋮rn=11⋮x1x2⋮⋯⋯⋱x1nx2n⋮1xn⋯xnna0a1⋮an-y1y2⋮yn，即：

r=Xa-Y，根据最小二乘准则令i=0nri2=min，可以得到a=XTX-1XTY。

实验方法：

逼近法采用最佳平方逼近，依据最小二乘原则：

i=0nri2=min，由已知条件采用离散型。

插值法采用拉格朗日插值法。

在逼近法中，由于是离散型的，所以法方程系数阵设计成求和。

分别求出3、4、5、6次的多项式，逼近结果和真实值有一定差距，最小二乘正是让这些差距达到最小，理论上多项式次数越高结果和真实值差距越小。

拉格朗日插值法中“la=la*（p-x（j））/（x（k）-x（j））”语句实现的是我们通常书写的连乘形式拉格朗日插值多项式，但是表示不方便，而如果用“s=collect（s）”函数将其展开成降幂排列多项式以后，由于余项问题结果会和原本的多项式有偏差，这种偏差随着x的增大而增大。

求出多项式后和题目中给出的参考点进行比较。

最后，选择六次最佳平方逼近多项式和拉格朗日插值多项式（九次）进行比较，选取xi=a+ih=1+0.2*i（i=0,1,⋯,45），分别绘制两者的图像进行比较。

1.3试验结果

1.3.1最佳平方逼近法

三次多项式：

-1.033*x^3+19.33*x^2-94.48*x+131.8

拟合结果：

55.6170

11.8960

-5.5610

-2.9520

13.5250

37.6720

63.2910

84.1840

94.1530

87.0000

四次多项式：

-0.3818*x^4+7.368*x^3-42.14*x^2+73.53*x+0.745

39.1212

32.0802

10.0852

-5.5638

-2.7300

21.5602

61.1172

100.5882

115.4572

72.0450

五次多项式：

0.09807*t^5-3.079*t^4+34.5*t^3-163.5*t^2+304.7*t-139.5

33.2191

45.7742

9.0320

-16.5003

-8.9063

26.9083

70.9835

100.0738

99.4164

74.5000

六次多项式：

0.01936*t^6-0.5408*t^5+5.114*t^4-16.9*t^3-0.867*t^2+66.38*t-18.7

34.5056

41.1494

13.2700

-13.9486

-12.2250

23.7114

73.9500

105.1694

96.3456

78.4000

对比可知，六次多项式拟合结果最好。

1.3.2拉格朗日插值法

插值多项式5.353*10^（-5）*x^9-0.003088*x^8+0.07229*x^7-0.8792*x^6+5.932*x^5-22.41*x^4+50.11*x^3-86.47*x^2+113.5*x-25.2

注：

此多项式为拉格朗日多项式的近似式，当x=10的时候偏差可以达到23以上。

对比数据：

1.5000

1.9000

2.3000

2.7000

3.1000

3.5000

3.9000

4.3000

4.7000

42.1498

41.4620

35.1182

24.3852

11.2732

-1.7813

-12.3006

-18.1566

-17.9069

5.1000

5.5000

5.9000

6.3000

6.7000

7.1000

7.5000

7.9000

-11.0226

2.0284

19.8549

40.3626

61.0840

79.5688

93.7700

102.3677

插值结果：

42.3840

41.4947

35.0742

24.3601

11.2792

-1.7683

-12.2977

-18.1626

-17.9118

-11.0210

2.0333

19.8565

40.3584

61.0794

79.5709

93.7788

102.3713

其中红点表示参考点。

1.3.3比较

选取xi=a+ih=1+0.2*i（i=0,1,⋯,45），分别绘制六次多项式拟合和拉格朗日插值结果图：

其中绿线表示拉格朗日插值多项式图像，蓝线表示六次多项式拟合图像。

两者效果近似但后者比前者低三次。

2第二题

用雅格比法与高斯－赛德尔迭代法解下列方程组Ax=b1或Ax=b2，研究其收敛性。

上机验证理论分析是否正确，比较它们的收敛速度，观察右端项对迭代收敛有无影响。

（1）A行分别为A1=[6,2,-1],A2=[1,4,-2],A3=[-3,1,4]；

b1=[-3,2,4]T；

b2=[100,-200,345]T。

（2）A行分别为A1=[1,0,8,0.8],A2=[0.8,1,0.8],A3=[0.8,0.8,1]；

b1=[3,2,1]T；

b2=[5,0,-10]T。

（3）A行分别为A1=[1,3],A2=[-7,1]；

b1=[4,6]T。

2.1试验目的

学习jacobi迭代法和GuassSeidel迭代法的原理和编程方法，研究方程组系数阵和右边项对方程的解及其收敛性的影响，判断迭代法的收敛条件。

2.2实验原理和方法

将方程组系数阵A分解为A=D+L+U,其中D为对角阵，L为减去D的下三角阵，U为减去D的上三角阵。

Jacobi迭代法中构造如下迭代公式：

xk+1=-D-1L+Uxk+D-1b

而Gauss-Seidel迭代法的迭代公式为：

xk+1=-D+L-1Uxk+D+L-1b

初始值直接选取为0。

在判断其收敛性时，分别求解其迭代矩阵的谱半径ρG，ρG=max1≤i≤≤nli，li为迭代矩阵的特征值。

分别编写jacobi迭代及其收敛判别函数和Seidel迭代及其收敛判别函数。

如果在初试迭代步数之内还未收敛就进行收敛判别，收敛判别的依据是迭代矩阵的谱半径是否小于1。

比较同一方程组的jacobi迭代法和Seidel迭代法的结果是否相同，在达到精度要求后比较两种方法的迭代次数，比较哪一个的效率更高。

比较方程组系数阵和等号右边的变化会对方程的解和收敛速度造成什么影响。

如果迭代不收敛，那么考虑为什么不收敛，如果把方程组系数阵进行强对角占优处理，是否会收敛。

2.3实验结果

规定误差界：

1e-4

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