南航矩阵论2013研究生试卷及答案Word格式文档下载.doc
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阅卷教师:
学院专业学号姓名成绩
一、(20分)设是的一个线性子空间,对任意,定义:
,其中.
(1)求的一组基和维数;
(2)对任意,定义:
,
证明是的一个内积;
(3)求在题
(2)所定义的内积下的一组标准正交基;
(4)证明是的线性变换,并求在题
(1)所取基下的矩阵.
解答:
(1)的一组基为维数为3.
……………………………………(5分)
(2)直接验证内积定义的四个条件成立.……………………………(4分)
(3)标准正交基.…………(5分)
(4)由于,所以是的一个变换.又直接验证,知
因此是的一个线性变换.………………………………(3分)
线性变换在基下的矩阵为
.……………………………………………(3分)
二、(20分)设三阶矩阵,,.
(1)求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan标准形;
(2)利用矩阵的知识,判断矩阵和是否相似,并说明理由.
解答:
(1)的行列式因子为;
…(3分)
不变因子为;
…………………(3分)
初等因子为;
……………………(2分)
Jordan标准形为.……………………(2分)
(2)不相似,理由是2阶行列式因子不同;
…………………(5分)
相似,理由是各阶行列式因子相同.…………………(5分)
共6页第4页
三、(20分)已知线性方程组不相容.
(1)求系数矩阵的满秩分解;
(2)求广义逆矩阵;
(3)求该线性方程组的极小最小二乘解.
(1)矩阵,的满秩分解为
.…………………(5分)
(2).……………………(10分)
(3)方程组的极小最小二乘解为.…………(5分)
共6页第5页
四、(20分)已知幂级数的收敛半径为3,矩阵.
(1)求;
(2)证明矩阵幂级数收敛;
(3)求矩阵幂级数的和.
(1).………(10分)
(2)因为是相容范数,且,则在收敛半径内,因此级数收敛.……………(5分)
(3).……………(5分)
共6页第6页
五、(20分)设是两个阶矩阵,其中,证明:
(1)若对任意,有则可逆;
(2)若都是Hermite正定矩阵,则的特征值均为正数;
(3)若都是Hermite半正定矩阵,则,并且当等号成立时,必有.
(1)由可得,,由于是相容范数,则,的特征值都不为零,因此可逆.………………………(6分)
(2),这里是可逆的Hermite矩阵,从而.由于与有相同的特征值,且,所以的特征值均为正数.
………………(8分)
(3),这里是Hermite矩阵.由于与有相同的特征值,且,所以的特征值均为非负数,从而.…………………(4分)
当时,有,从而.设这里也是Hermite矩阵,则
.
于是,由此得到.…………(2分)