高中数学人教A版必修四第一章 61余弦函数的图像62余弦函数的性质 Word练习题含答案.docx
《高中数学人教A版必修四第一章 61余弦函数的图像62余弦函数的性质 Word练习题含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A版必修四第一章 61余弦函数的图像62余弦函数的性质 Word练习题含答案.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高中数学人教A版必修四第一章61余弦函数的图像62余弦函数的性质Word练习题含答案
§6 余弦函数的图像与性质
6．1 余弦函数的图像
6．2 余弦函数的性质
）
1．问题导航
（1）由y＝sinx（x∈R）的图像得到y＝cosx（x∈R）的图像，平移的方法唯一吗？
（2）五点法作余弦函数的图像与作正弦函数的图像所取的五点不同，为什么？
（3）余弦函数既是中心对称图形又是轴对称图形，但它是偶函数不是奇函数，为什么？
2．例题导读
P32例．通过本例学习，学会用五点法作函数y＝acosx＋b的简图，并能根据图像讨论函数的性质．
试一试：
教材P34习题1-6A组T2你会吗？
1．余弦函数图像的画法
（1）变换法：
根据诱导公式sin＝cosx及函数图像平移知识，得将y＝sinx的图像向左平移个单位得到y＝cosx的图像，余弦曲线如图所示．
（2）五点法：
在函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图像上，有5个关键点：
（0，1），，（π，－1），，（2π，1）．描出五个关键点，用平滑的曲线连接，可得y＝cosx，x∈[0，2π]的图像，再向左、右平移得y＝cosx，x∈R的图像．
2．余弦函数的图像与性质
图像
性质
定义域
R
值域
[－1，1]
最值
当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝2kπ＋π，k∈Z时，ymin＝－1
周期性
周期函数，最小正周期T＝2π
奇偶性
偶函数，图像关于y轴对称
单调性
在[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上是增加的；
在[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）上是减少的
1．判断正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）余弦函数y＝cosx是偶函数，图像关于y轴对称，对称轴有无数多条．（ ）
（2）余弦函数y＝cosx的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形．（ ）
（3）函数y＝acosx（a≠0）的最大值为a，最小值为－a.（ ）
（4）函数y＝cosx（x∈R）的图像向左平移个单位长度后，得到函数y＝g（x）的图像，则g（x）＝－sinx．（ ）
解析：
（1）正确．由余弦函数的性质知，它是偶函数，图像关于y轴对称，直线x＝kπ（k∈Z）为其对称轴．
（2）正确．余弦函数y＝cosx的图像关于直线x＝kπ（k∈Z）对称，也关于点（k∈Z）对称．
（3）错误．要对a分大于0和小于0两种情况讨论，才能确定最大值与最小值．
（4）正确．可得g（x）＝cos＝－sinx，即g（x）＝－sinx.
答案：
（1）√
（2）√ （3）× （4）√
2．用“五点法”作出函数y＝3－cosx的图像，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是（ ）
A．（π，－1） B．（0，2）
C.D．
解析：
选A.由五点作图法知五个关键点分别为（0，2），，（π，4），，（2π，2），故A错误．
3．函数y＝－3cosx＋2的值域为（ ）
A．[－1，5]B．[－5，1]
C．[－1，1]D．[－3，1]
解析：
选A.因为－1≤cosx≤1，所以－1≤－3cosx＋2≤5.
4．已知函数y＝－cosx，x∈，则其递增区间为________．
解析：
当x∈[0，2π]时，函数y＝cosx在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，所以函数y＝－cosx在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数．
答案：
[0，π]
1．余弦函数图像的画法
（1）平移法：
这种方法借助诱导公式，先将y＝cosx写成y＝sin，然后利用图像平移得到y＝cosx的图像．
（2）“五点法”：
在已知函数图像特征的情况下，描出函数图像的关键点，画出草图．这种方法对图像的要求精度不高，是比较常用的一种画图方法．
余弦函数除以上两种常见的画图方法外，还有其他的作图方法（如与正弦函数类似的几何法等）．
2．余弦函数性质与图像的关系
（1）余弦函数性质的研究可以类比正弦函数的研究方法．
（2）余弦函数的性质可以由图像直接观察，但要经过解析式或单位圆推导才能下结论．即数形结合思想的运用．
3．余弦函数的对称性
（1）余弦函数是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为（k∈Z），即余弦曲线与x轴的交点，此时的余弦值为0.
（2）余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程为x＝kπ（k∈Z），即对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点，此时余弦值取得最大值或最小值．
4．余弦函数的周期性
类比正弦函数的周期性，余弦函数的最小正周期为2π，余弦函数的周期不唯一，2kπ（k∈Z，且k≠0，1）也是余弦函数的周期，根据诱导公式cos（x＋2kπ）＝cosx（k∈Z），容易得出．
5．对余弦函数最值的两点说明
（1）明确余弦函数的有界性，即－1≤cosx≤1.
（2）对有些函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．
画余弦函数的图像并讨论其性质
画出函数y＝3＋2cosx的简图，根据图像讨论函数的性质．
（链接教材P32例）
[解]
（1）列表，如下表所示
x
0
π
π
2π
y＝cosx
1
0
－1
0
1
y＝3＋2cosx
5
3
1
3
5
（2）描点，连线，如图所示：
不难看出，函数y＝3＋2cosx的主要性质有（见下表）
函数
y＝3＋2cosx
定义域
R
值域
[1，5]
奇偶性
偶函数
周期性
2π
单调性
当x∈[（2k－1）π，2kπ]（k∈Z）时，函数是增加的；
当x∈[2kπ，（2k＋1）π]（k∈Z）时，函数是减少的
最大值与最小值
当x＝2kπ（k∈Z）时，最大值为5；
当x＝（2k＋1）π（k∈Z）时，最小值为1
试用五点法画函数y＝－cosx－1，x∈[0，2π]的图像．
解：
列表如下
x
0
π
2π
y＝cosx
1
0
－1
0
1
y＝－cosx－1
－2
－1
0
－1
－2
描点连线，可得函数y＝－cosx－1在[0，2π]上的图像如图：
方法归纳
（1）用五点法画函数f（x）＝acosx＋b（a≠0）简图的步骤如下：
①列表；②描点，描出（0，a＋b），，（π，－a＋b），，（2π，a＋b）；③连线，用光滑的曲线顺次连接各点；④将简图左、右平移2π的整数倍得函数f（x）＝acosx＋b（a≠0）的图像．
（2）讨论形如f（x）＝acosx＋b（a≠0）的函数的性质时，一般从定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值六个方面展开讨论．
1．
（1）用五点法作函数y＝sin＋1，x∈[0，2π]的图像时，应取的五个关键点是________．
（2）画出函数y＝－cosx＋1的简图，并根据图像讨论函数的性质．
解：
（1）因为y＝sin＋1＝cosx＋1，x∈[0，2π]，所以应取的五个关键点分别为（0，2），，（π，0），，（2π，2）．故填（0，2），，（π，0），，（2π，2）．
（2）列表：
x
0
π
2π
y＝cosx
1
0
－1
0
1
y＝－cosx＋1
0
1
2
1
0
描点并画出图像．
由图像可知函数y＝－cosx＋1有以下性质：
定义域：
R；值域：
[0，2]；
奇偶性：
偶函数；周期性：
最小正周期是2π；
单调性：
在区间[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）上是增加的，在区间[2kπ＋π，2kπ＋2π]（k∈Z）上是减少的．
最大与最小值：
当x＝（2k＋1）π（k∈Z）时，最大值为2；
当x＝2kπ（k∈Z）时，最小值为0.
余弦函数的定义域、值域
求下列函数的定义域、值域．
（1）y＝；
（2）y＝lg（2cosx－）．
（链接教材P34习题1－6A组T3、T4）
[解]
（1）由题意，得1－2cosx≥0，
所以cosx≤，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋（k∈Z）．
所以原函数的定义域为
.
因为－1≤cosx≤1，所以－2≤－2cosx≤2，
所以－1≤1－2cosx≤3，又y＝≥0，
所以原函数的值域为[0，]．
（2）由题意，得2cosx－>0，所以cosx>，结合y＝cosx的图像（如图）可得：
－＋2kπ所以原函数的定义域为
.
因为－1≤cosx≤1，
所以－2－≤2cosx－≤2－.
因为y＝lgx在（0，＋∞）上为增函数．
所以y＝lg（2cosx－）的值域为（－∞，lg（2－）]．
方法归纳
（1）利用余弦函数的图像解三角不等式，其一般步骤是：
①作出y＝cosx在一个周期上的图像；②在一个周期内，根据图像求出适合条件的角的范围；③依据y＝cosx的周期性，求出所有符合条件的角的集合．
（2）求三角函数的值域要熟练应用函数图像的单调性及正、余弦函数的有界性．
2．
（1）求函数y＝lg（2sinx－1）＋的定义域．
（2）已知x∈，
①求函数y＝cosx的值域；
②求函数y＝－3（1－cos2x）－4cosx＋4的最大值、最小值．
解：
（1）要使函数有意义，必须满足
即
作出函数y＝cosx和y＝sinx的图像如图所示，
由正弦、余弦函数的图像，
解得
即＋2kπ≤x<＋2kπ，k∈Z.
所以此函数的定义域为（k∈Z）．
（2）①画出函数y＝cosx，x∈的图像，如图所示：
由图像可知：
当x＝0时，函数取最大值1.
当x＝时，函数取最小值－.
所以函数y＝cosx，x∈的值域为.
②原函数可化为y＝3cos2x－4cosx＋1.
令t＝cosx，则由①知t∈，
所以y＝3t2－4t＋1＝3－.
当t＝－时，函数取最大值.
当t＝时，函数取最小值－.
所以函数y＝－3（1－cos2x）－4cosx＋4，x∈的最大值为，最小值为－.
余弦函数性质的应用
已知f（x）＝2＋acosx（a≠0）．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数的最小正周期．
（链接教材P32例）
[解]
（1）因为f（x）＝2＋acosx（a≠0）的定义域为R且f（－x）＝f（x），
所以函数f（x）＝2＋acosx为偶函数．
（2）因为f（x）＝cosx在[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上是增加的，在[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）上是减少的．
所以当a＞0时，f（x）＝2＋acosx的递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，递减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.
当a＜0时，f（x）＝2＋acosx的递增区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，递减区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z.
（3）由f（x＋2π）＝f（x）知f（x）＝2＋acosx的最小正周期为2π.
方法归纳
对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函数的图像并类比正弦函数的相关性质进行记忆，其解题规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致．
3．
（1）函数f（x）＝4sin的图像（ ）
A．关于x轴对称
B．关于原点对称
C．关于y轴对称
D．关于直线x＝对称
（2）判断下列函数的奇偶性．
①f（x）＝3cos2x；
②f（x）＝sin.
（3）求下列函数的递增区间：
①y＝；
②y＝cos.
解：
（1）选C.由题意知f（x）＝－4cos2x为偶函数，所以该函数的图像关于y轴对称．
升级会员 