二阶线性微分方程的解法Word文档下载推荐.docx

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将代入方程

（2）的左边,得

=

所以是方程

（2）的解.

定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.

叠加起来的解从形式看含有两个任意常数,但它不一定是方程式

（2）的通解.

2.线性相关、线性无关的概念

设为定义在区间I内的n个函数,若存在不全为零的常数使得当在该区间内有,则称这n个函数在区间I内线性相关,否则称线性无关.

例如在实数范围内是线性相关的,因为

又如在任何区间（a,b）内是线性无关的,因为在该区间内要使

必须.

对两个函数的情形,若常数,则,线性相关,若常数,则,线性无关.

3.二阶常系数齐次微分方程的解法

定理2如果与是方程式

（2）的两个线性无关的特解,则为任意常数）是方程式

（2）的通解.

例如,是二阶齐次线性方程,是它的两个解,且常数,即,线性无关,所以

（是任意常数）是方程的通解.

由于指数函数（r为常数）和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用来试着看能否选取适当的常数,使满足方程

（2）.

将求导,得

把代入方程

（2）,得

因为,所以只有（3）

只要满足方程式（3）,就是方程式

（2）的解.

我们把方程式（3）叫做方程式

（2）的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中的系数及常数项恰好依次是方程

（2）的系数.

特征方程（3）的两个根为,因此方程式

（2）的通解有下列三种不同的情形.

（1）当时，是两个不相等的实根.

是方程

（2）的两个特解,并且常数,即与线性无关.根据定理2,得方程

（2）的通解为

（2）当时,是两个相等的实根.

这时只能得到方程

（2）的一个特解,还需求出另一个解,且常数,设,即

.

将代入方程

（2）,得

整理,得

由于,所以

因为是特征方程（3）的二重根,所以

从而有

因为我们只需一个不为常数的解,不妨取,可得到方程

（2）的另一个解

那么,方程

（2）的通解为

即.

（3）当时,特征方程（3）有一对共轭复根

（）

于是

利用欧拉公式把改写为

之间成共轭关系,取

=,

方程

（2）的解具有叠加性,所以,还是方程

（2）的解,并且常数,所以方程

（2）的通解为

综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:

（1）写出方程

（2）的特征方程

（2）求特征方程的两个根

（3）根据的不同情形,按下表写出方程

（2）的通解.

特征方程的两个根

方程的通解

两个不相等的实根

两个相等的实根

一对共轭复根

例1求方程的通解.

解:

所给方程的特征方程为

所求通解为.

例2求方程满足初始条件的特解.

解所给方程的特征方程为

通解为

将初始条件代入,得,于是

对其求导得

将初始条件代入上式,得

所求特解为

例3求方程的通解.

其根为

所以原方程的通解为

二、二阶常系数非齐次方程的解法

1.解的结构

定理3设是方程

（1）的一个特解,是式

（1）所对应的齐次方程式

（2）的通解,则是方程式

（1）的通解.

证明把代入方程

（1）的左端:

使方程

（1）的两端恒等,所以是方程

（1）的解.

定理4设二阶非齐次线性方程

（1）的右端是几个函数之和,如

（4）

而与分别是方程

与

的特解,那么就是方程（4）的特解,非齐次线性方程

（1）的特解有时可用上述定理来帮助求出.

2.型的解法

其中为常数,是关于的一个次多项式.

方程

（1）的右端是多项式与指数函数乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程

（1）的特解可能为,其中是某个多项式函数.

把

代入方程

（1）并消去,得

（5）

以下分三种不同的情形,分别讨论函数的确定方法:

（1）若不是方程式

（2）的特征方程的根,即,要使式（5）的两端恒等,可令为另一个次多项式:

代入（5）式,并比较两端关于同次幂的系数,就得到关于未知数的个方程.联立解方程组可以确定出.从而得到所求方程的特解为

（2）若是特征方程的单根,即,要使式（5）成立,则必须要是次多项式函数,于是令

用同样的方法来确定的系数.

（3）若是特征方程的重根,即.

要使（5）式成立,则必须是一个次多项式，可令

综上所述,若方程式

（1）中的,则式

（1）的特解为

其中是与同次多项式,按不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.

例4求方程的一个特解.

解是型,且

对应齐次方程的特征方程为,特征根根为.

=-2是特征方程的单根,令

代入原方程解得

故所求特解为.

例5求方程的通解.

解先求对应齐次方程的通解.

特征方程为,

齐次方程的通解为.

再求所给方程的特解

由于是特征方程的二重根,所以

把它代入所给方程,并约去得

比较系数,得

所给方程的通解为

3.型的解法

其中、、均为常数.

此时,方程式

（1）成为

（7）

这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式（7）的特解也应属同一类型,可以证明式（7）的特解形式为

其中为待定常数.为一个整数.

当不是特征方程的根,取0;

当不是特征方程的根,取1;

例6求方程的一个特解.

解，不是特征方程为的根，.因此原方程的特解形式为

将代入原方程，得

解得

原方程的特解为:

例7求方程的通解.

解先求对应的齐次方程的通解.对应的齐次方程的特征方程为

再求非齐次方程的一个特解.

由于,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为的特解、,则是原方程的一个特解.

由于,均不是特征方程的根,故特解为

代入原方程,得

比较系数,得

解之得.

于是所给方程的一个特解为

所以所求方程的通解为