江苏专用版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形46简单的三角恒等变换文含答案Word文件下载.docx

江苏专用版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形46简单的三角恒等变换文含答案Word文件下载.docx

《江苏专用版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形46简单的三角恒等变换文含答案Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏专用版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形46简单的三角恒等变换文含答案Word文件下载.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

1．已知cosα＝，α∈（π，2π），则cos＝________.

答案　－

解析　∵∈（，π），

∴cos＝－＝－＝－.

2.的值为________．

解析　原式＝

＝＝－.

3．（教材改编）sin15°

－cos15°

＝________.

解析　sin15°

＝2sin（15°

－60°

）

＝－2sin45°

＝－.

4．若f（x）＝2tanx－，则f的值为______．

答案　8

解析　∵f（x）＝2tanx＋

＝2tanx＋

＝＝，

∴f＝＝8.

5．若锐角α、β满足（1＋tanα）（1＋tanβ）＝4，则α＋β＝________.

答案　

解析　由（1＋tanα）（1＋tanβ）＝4，

可得＝，即tan（α＋β）＝.

又α＋β∈（0，π），∴α＋β＝.

题型一　三角函数式的化简与求值

例1　

（1）化简：

（2）计算：

答案　

（1）cos2x　

（2）－4

解析　

（1）原式＝

＝

＝＝cos2x.

（2）原式＝

＝＝－4.

思维升华　

（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．

（2）三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子和三角函数公式之间的共同点．

（1）cos·

cos·

cos＝________.

（2）已知cos＝，θ∈，则sin＝________.

答案　

（1）－　

（2）

解析　

（1）原式＝cos·

cosπ·

cos（－3π＋π）

（2）由题意可得，cos2＝＝，cos＝－sin2θ＝－，即sin2θ＝.

因为cos＝>

0，θ∈，

所以0<

，2θ∈，

根据同角三角函数基本关系式可得cos2θ＝，

由两角差的正弦公式可得

sin＝sin2θcos－cos2θsin＝.

题型二　三角函数的求角问题

例2　

（1）已知锐角α，β满足sinα＝，cosβ＝，则α＋β＝________.

（2）已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0（a＞1）的两根分别为tanα、tanβ，且α、β∈，则α＋β＝________.

答案　

（1）　

（2）－

解析　

（1）由sinα＝，cosβ＝且α，β为锐角，

可知cosα＝，sinβ＝，

故cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

＝×

－×

＝，

又0<

α＋β<

π，故α＋β＝.

（2）依题意有

∴tan（α＋β）＝＝＝1.

又∴tanα＜0且tanβ＜0.

∴－＜α＜0且－＜β＜0，

即－π＜α＋β＜0，结合tan（α＋β）＝1，

得α＋β＝－.

思维升华　通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：

（1）已知正切函数值，则选正切函数．

（2）已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正弦、余弦皆可；

若角的范围是（0，π），则选余弦较好；

若角的范围为，则选正弦较好．

（1）若α，β∈（0，π），且tan（α－β）＝，tanβ＝－，则2α－β＝________.

（2）在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·

tanB，则C＝________.

解析　

（1）∵tanα＝tan[（α－β）＋β]＝

＝＝>

0，又α∈（0，π）．∴0<

α<

，

又∵tan2α＝＝＝>

0，

∴0<

2α<

∴tan（2α－β）＝＝＝1.

∵tanβ＝－<

0，∴<

β<

π，－π<

2α－β<

∴2α－β＝－.

（2）由已知可得tanA＋tanB＝（tanA·

tanB－1），

∴tan（A＋B）＝＝－，

A＋B<

π，∴A＋B＝π，∴C＝.

题型三　三角恒等变换的应用

例3　已知函数f（x）＝sin（x＋θ）＋acos（x＋2θ），其中a∈R，θ∈.

（1）当a＝，θ＝时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；

（2）若f＝0，f（π）＝1，求a，θ的值．

解　

（1）f（x）＝sin＋cos

＝（sinx＋cosx）－sinx

＝cosx－sinx＝sin，

因为x∈[0，π]，从而－x∈，

故f（x）在[0，π]上的最大值为，最小值为－1.

（2）由　得

由θ∈知cosθ≠0，解得

思维升华　三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．

（1）（2014·

课标全国Ⅱ）函数f（x）＝sin（x＋φ）－2sinφcosx的最大值为________．

（2）函数f（x）＝sin（2x－）－2sin2x的最小正周期是________．

答案　

（1）1　

（2）π

解析　

（1）因为f（x）＝sin（x＋φ）－2sinφcosx

＝sinxcosφ－cosxsinφ＝sin（x－φ），

－1≤sin（x－φ）≤1，所以f（x）的最大值为1.

（2）∵f（x）＝sin2x－cos2x－（1－cos2x）

＝sin2x＋cos2x－＝sin（2x＋）－，

∴T＝＝π.

8．化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用

典例　（14分）（2015·

重庆）已知函数f（x）＝sinsinx－cos2x.

（1）求f（x）的最小正周期和最大值；

（2）讨论f（x）在上的单调性．

思维点拨　

（1）讨论形如y＝asinωx＋bcosωx型函数的性质，一律化成y＝sin（ωx＋φ）型的函数．

（2）研究y＝Asin（ωx＋φ）型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sinx的图象解决．

规范解答

解　

（1）f（x）＝sinsinx－cos2x

＝cosxsinx－（1＋cos2x）＝sin2x－cos2x－＝sin－，[5分]

因此f（x）的最小正周期为π，最大值为.[7分]

（2）当x∈时，0≤2x－≤π，[8分]

从而当0≤2x－≤，

即≤x≤时，f（x）单调递增，[10分]

当≤2x－≤π，即≤x≤时，f（x）单调递减．[12分]

综上可知，f（x）在上单调递增；

在上单调递减．[14分]

温馨提醒　

（1）讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化成y＝Asin（ωx＋φ），φ的确定一定要准确．

（2）将ωx＋φ视为一个整体，设ωx＋φ＝t，可以借助y＝sint的图象讨论函数的单调性、最值等．

[方法与技巧]

1．三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换．

2．利用三角函数值求角要考虑角的范围．

3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f（x）＝Asin（ωx＋φ）的形式，然后借助三角函数图象解决．

[失误与防范]

1．利用辅助角公式，asinx＋bcosx转化时一定要严格对照和差公式，防止弄错辅助角．

2．计算形如y＝sin（ωx＋φ）,x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆．

A组　专项基础训练

（时间：

40分钟）

1．若sin＝，则cos＝________.

解析　∵sin＝，

∴sin＝，∴cos＝，

∴cos＝2cos2－1

＝2×

－1＝－.

2．已知sin2α＝，则cos2＝________.

解析　因为cos2＝

所以cos2＝＝＝.

3．若cos－sinα＝，则sin＝________.

解析　∵cos－sinα＝，

∴cosα－sinα＝，

∴sin＝－sinα＋cosα＝.

4．已知向量a＝，

b＝（4,4cosα－），若a⊥b，则sin＝________.

解析　∵a⊥b，

∴a·

b＝4sin＋4cosα－

＝2sinα＋6cosα－

＝4sin－＝0，

∴sin＝.

∴sin＝－sin＝－.

5．函数f（x）＝sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）的图象关于点对称，则f（x）的单调递增区间为__________________．

答案　，k∈Z

解析　∵f（x）＝sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）

＝2sin，

由题意知2×

＋θ＋＝kπ（k∈Z），

∴θ＝kπ－π（k∈Z）．

∵|θ|＜，∴θ＝.

∴f（x）＝2sin.

由2kπ－≤2x＋π≤2kπ＋（k∈Z），

得kπ－π≤x≤kπ－（k∈Z）．

6．已知tan（＋θ）＝3，则sin2θ－2cos2θ的值为________．

解析　∵tan（＋θ）＝3，

∴＝3，解得tanθ＝.

∵sin2θ－2cos2θ＝sin2θ－cos2θ－1

＝－－1

＝－－1＝－.

7．若tanα＋＝，α∈（，），则sin（2α＋）的值为________．

解析　由tanα＋＝得＋＝，

∴＝，∴sin2α＝.

∵α∈（，），∴2α∈（，π），∴cos2α＝－.

∴sin（2α＋）＝sin2αcos＋cos2αsin

（－）＝－.

8．若α、β是锐角，且sinα－sinβ＝－，cosα－cosβ＝，则tan（α－β）＝________.

解析　∵sinα－sinβ＝－，cosα－cosβ＝，

两式平方相加得：

2－2cosαcosβ－2sinαsinβ＝，

即2－2cos（α－β）＝，∴cos（α－β）＝.

∵α、β是锐角，且sinα－sinβ＝－＜0，

∴0＜α＜β＜，∴－＜α－β＜0.

∴sin（α－β）＝－＝－.

∴tan（α－β）＝＝－.

9．已知函数f（x）＝Asin，x∈R，且f＝.

（1）求A的值；

（2）若f（θ）－f（－θ）＝，θ∈，求f的值．

解　

（1）由f＝，即Asin＝，

可得Asin＝＝，解得A＝3.

（2）由f（θ）－f（－θ）＝3sin－3sin

＝3sinθ＝，

解得sinθ＝.

因为θ∈，所以cosθ＝＝，

所以f＝3sin＝3cosθ＝3×

＝.

10．已知函数f（x）＝sin＋sin－2cos2，x∈R（其中ω＞0）．

（1）求函数f（x）的值域；

（2）若函数f（x）的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数f（x）