届中考数学《第四部分第一讲第1课时新定义型问题》同步练习含答案Word文件下载.docx

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÷

30°

＝3，符合“智慧三角形”的定义．故D正确．故选D.

图1－1－1

2．[2017·

潍坊改编]函数y＝[x]的图象如图1－1－1所示，则方程[x]＝x2的解为（　A　）

A．0或

B．0或2

C．1或－

D.或－

【解析】由函数图象可知，当－2≤x＜－1时，y＝－2，即有[x]＝－2，此时方程无解；

当－1≤x＜0时，y＝－1，即有[x]＝－1，此时方程无解；

当0≤x＜1时，y＝0，即有[x]＝0，此时方程为0＝x2，解得x＝0；

当1≤x＜2时，y＝1，即有[x]＝1，此时方程为1＝x2，解得x＝或－（不在x的取值范围内，舍去）．综上可知，方程的解为0或.

3．我们定义：

当m，n是正实数，且满足m＋n＝mn时，就称P为“完美点”，已知点A（0，5）与点B都在直线y＝－x＋b上，且B是“完美点”，若C也是“完美点”且BC＝，则点C的坐标可以是（　B　）

A．（1，2）B．（2，1）

C．（3，4）D．（2，4）

【解析】由m＋n＝mn变形为＝m－1，可知P点坐标为（m，m－1），∴点P在直线y＝x－1上，点A（0，5）在直线y＝－x＋b上，求得直线y＝－x＋5，进而求得B（3，2），设C点坐标为（a，a－1），然后根据勾股定理列出关于a的方程，解方程即可求得a.∵m＋n＝mn且m，n是正实数，∴＋1＝m，即＝m－1，即“完美点”P在直线y＝x－1上，∵点A（0，5）在直线y＝－x＋b上，∴b＝5，∴y＝－x＋5，∵“完美点”B在直线y＝－x＋5上，∴由解得∴B（3，2），∵C是“完美点”，∴点C在直线y＝x－1上，设C点坐标为（a，a－1），∵BC＝，根据勾股定理，得（3－a）2＋（2－a＋1）2＝（）2，解得a1＝2，a2＝4，∴点C坐标为（2，1）或（4，3）．在本题中符合题意的只有（2，1）．故选B.

二、填空题（每题6分，共24分）

4．[2017·

天水]定义一种新的运算：

x*y＝，如：

3*1＝＝，则（2*3）*2＝__2__．

【解析】根据新运算的定义，（2*3）*2＝*2＝4*2＝＝2.

5．[2017·

凉山]古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，第100个三角形数是__5_050__．

【解析】设第n个三角形数为an，观察，发现规律：

a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，…，∴an＝1＋2＋…＋n＝，将n＝100代入an，得a100＝＝5050.

6．对于任意实数m，n，定义一种运算m※n＝mn－m－n＋3，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：

3※5＝3×

5－3－5＋3＝10.请根据上述定义解决问题：

若a<

2※x<

7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是__4≤a＜5__．

【解析】∵2※x＝2x－2－x＋3＝x＋1，∴a＜x＋1＜7，即a－1＜x＜6，若解集中有两个整数解，则这两个整数解为5，4，即解得4≤a＜5.

7．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是__②③__（写出所有正确说法的序号）．

①方程x2－x－2＝0是倍根方程；

②若（x－2）（mx＋n）＝0是倍根方程，则4m2＋5mn＋n2＝0；

③若点（p，q）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程px2＋3x＋q＝0是倍根方程；

④若方程ax2＋bx＋c＝0是倍根方程，且相异两点M（1＋t，s），N（4－t，s）都在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为.

【解析】探究一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是倍根方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2＋bx＋c＝a（x－t）（x－2t）＝ax2－3atx＋2t2a.则b＝－3at，c＝2at2，可得b2－ac＝0；

我们记K＝b2－ac，即K＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0为倍根方程．下面我们根据此结论来解决问题：

对于①，K＝b2－ac＝10，因此①错误；

对于②，（x－2）·

（mx＋n）＝mx2＋（n－2m）x－2n＝0，K＝（n－2m）2－m·

（－2n）＝0⇒4m2＋5mn＋n2＝0，因此②正确；

对于③，显然pq＝2，而K＝32－pq＝0，因此③正确；

对于④，由M（1＋t，s），N（4－t，s），知－＝＝⇒b＝－5a，由倍根方程的结论知b2－ac＝0，从而有c＝a，所以方程变为ax2－5ax＋a＝0⇒9x2－45x＋50＝0⇒x1＝，x2＝，因此④错误．综上可知，正确的是②③.

三、解答题（共20分）

8．（10分）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．

（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：

请你写出一条定点抛物线的一个表达式．小敏写出了一个答案：

y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案；

（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：

已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值为最小时的表达式，请你解答．

解：

（1）答案不唯一，如y＝x2＋x－1，y＝x2－2x＋2，只要a，b，c满足a＋b＋c＝1即可；

（2）∵定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1＝－（x－b）2＋b2＋c＋1，

∴该抛物线的顶点坐标为（b，b2＋c＋1），且－1＋2b＋c＋1＝1，即c＝1－2b.

∵顶点纵坐标为b2＋c＋1＝b2－2b＋2＝（b－1）2＋1，

∴当b＝1时，b2＋c＋1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c＝－1，

∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x.

9．（10分）[2017·

郴州]设a，b是任意两个实数，用max{a，b}表示a，b两数中较大者，例如：

max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：

（1）max{5，2}＝__5__，max{0，3}＝__3__；

`

（2）若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，求x的取值范围；

（3）求函数y＝x2－2x－4与y＝－x＋2的图象的交点坐标，函数y＝x2－2x－4的图象如图1－1－2所示，请你在图中作出函数y＝－x＋2的图象，并根据图象直接写出max{－x＋2，x2－2x＋4}的最小值．

图1－1－2　　第9题答图

【解析】

（1）比较5和2，0和3的大小关系即可求得答案；

（2）若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，得－x＋1≥3x＋1，由此可求得答案；

（3）求得抛物线与直线的交点坐标，再利用新定义确定max{－x＋2，x2－2x＋4}的最小值．

（1）5，3；

（2）由题意可得3x＋1≤－x＋1，解得x≤0；

（3）由题意得解得

∴交点坐标为（－2，4）和（3，－1），

所作的函数y＝－x＋2的图象如答图，

由图象可知：

当x＝3时，max{－x＋2，x2－2x＋4}有最小值－1.

（24分）

10．（12分）[2017·

义乌]定义：

有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

（1）如图1－1－3①，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°

.

①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长．

②若AC⊥BD，求证：

AD＝CD.

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形．求AE的长．

图1－1－3

【解析】

（1）①由AB＝CD，AB∥CD，得到四边形ABCD是平行四边形．再根据AB＝BC，∠ABC＝90°

，判断出平行四边形ABCD的形状，利用勾股定理计算出BD的长．②由AB＝BC，AC⊥BD，根据等腰三角形的三线合一性得到∠ABD＝∠CBD，再证明△ABD≌△CBD；

（2）若EF与BC垂直，则四边形ABFE不能出现邻边相等的情况；

若EF与BC不垂直，则要使四边形ABFE是等腰直角四边形，还需AE＝AB或BF＝AB.

（1）①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB＝BC，

∴▱ABCD是菱形．∵∠ABC＝90°

，

∴菱形ABCD是正方形，∴BD＝.

第10题答图①

②证明：

如答图①，连结AC，BD，

∵AB＝BC，AC⊥BD，

∴∠ABD＝∠CBD，又∵BD＝BD，

∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD.

（2）若EF与BC垂直，

则AE≠EF，BF≠EF，

∴四边形ABFE不是等腰直角四边形，不符合条件．

若EF与BC不垂直，

第10题答图②

①当AE＝AB时，如答图②，

此时四边形ABFE是等腰直角四边形．∴AE＝AB＝5.

②当BF＝AB时，如答图③，此时四边形ABFE是等腰直角四边形．

第10题答图③

∴BF＝AB＝5.∵DE∥BF，

∴△PED∽△PFB，∴DE∶BF＝PD∶PB＝1∶2，

∴DE＝2.5，

∴AE＝9－2.5＝6.5.

综上所述，AE的长为5或6.5.

11．（12分）[2016·

台州]定义：

有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．

（1）三等角四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，求∠A的取值范围；

（2）如图1－1－4，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH.求证：

四边形ABCD是三等角四边形；

图1－1－4

（3）三等角四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，若CB＝CD＝4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？

并求此时对角线AC的长．

（1）∵∠A＝∠B＝∠C，∴3∠A＋∠ADC＝360°

，∴∠ADC＝360°

－3∠A，∵0°

＜∠ADC＜180°

∴0°

＜360°

－3∠A＜180°

，∴60°

＜∠A＜120°

（2）证明：

∵四边形DEBF是平行四边形，

∴∠E＝∠F，

由折叠的性质，得∠E＝∠DAE，∠F＝∠DCF，

∴∠DAE＝∠DCF，∴∠DAB＝∠DCB，

∵∠DAB＋∠DAE＝180°

，∠E＋∠B＝180°

∴∠DAB＝∠B，∴∠DAB＝∠DCB＝∠B，

∴四边形ABCD是三等角四边形；

（3）①当60°

＜∠A＜90°

时，如答图①，过点D作DF∥AB交BC于点F，作DE∥BC交AB于点E，

第11题答图①

∵四边形BEDF是平行四边形，

∴∠DFC＝∠B＝∠DEA，EB＝DF，DE＝FB，

∵∠A＝∠B＝∠C，

∴∠A＝∠DEA＝∠C＝∠DFC.

∴△DAE∽△DCF，AD＝DE，DC＝DF＝4，

设AD＝x，AB＝y，则AE＝y－4，CF＝4－x，

由△DAE∽△DCF，得＝，∴＝.

第11题答图②

∴y＝－x2＋x＋4＝－（x－2）2＋5，

∴当x＝2时，y的最大值为5，

∴即当AD＝2时，AB的长最大，最大值是5；

②当∠A＝90°

时，三