版浙江《学业水平考试》数学知识清单与冲A训练11 圆与方程Word文档格式.docx

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代数法：

联立两圆方程组成方程组的解的情况

外离

外切

相交

内切

内含

知识点五空间直角坐标系

1．空间直角坐标系及相关概念

（1）空间直角坐标系：

从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：

________________，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz.

（2）相关概念：

________叫做坐标原点，______________叫做坐标轴，通过________________的平面叫做坐标平面，分别称为________平面、________平面、________平面．

2．右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向________的正方向，食指指向________的正方向，如果中指指向________的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．

3．空间一点的坐标

空间一点M的坐标可用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x，y，z），其中x叫做点M的________，y叫做点M的________，z叫做点M的________．

知识点六空间两点间的距离公式

（1）在空间中，点P（x，y，z）到坐标原点O的距离|OP|＝________________.

（2）在空间中，P1（x1，y1，z1）与P2（x2，y2，z2）的距离|P1P2|＝________________________.

（3）若点P1（x1，y1,0），P2（x2，y2,0），则|P1P2|＝________________________.

（4）若点P1（x1,0,0），P2（x2,0,0），则|P1P2|＝________________.

例1经过原点，圆心在x轴的负半轴上，且半径为2的圆的方程为（）

A．（x＋2）2＋y2＝4

B．（x－2）2＋y2＝4

C．x2＋（y＋2）2＝4

D．（x－1）2＋（y－3）2＝4

例2（2019年4月学考）已知圆C1：

x2＋y2＝1，圆C2：

（x－3）2＋（y－4）2＝9，则圆C1与圆C2的位置关系是（）

A．内含B．外离

C．相交D．相切

例3若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P（a，b）（）

A．在圆上B．在圆外

C．在圆内D．以上都有可能

例4圆（x－3）2＋（y－3）2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

例5已知线段AB的端点B的坐标是（5,3），端点A在圆（x－1）2＋y2＝2上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为（）

A．（x－3）2＋（y－3）2＝

B．（x－3）2＋（y＋）2＝

C．（x＋3）2＋（y－）2＝

D．（x－3）2＋（y－）2＝

例6与圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a＝________.

例7已知x和y满足（x＋1）2＋y2＝，则x2＋y2的最大值与最小值分别是________．

一、选择题

1.在如图的空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BD1上的一点，且BP＝2PD1，则点P的坐标是（）

A．（，，）

B．（，，）

C．（，，）

D．（，，）

2．原点必位于圆：

x2＋y2－2ax－2y＋（a－1）2＝0（a>

1）的（）

A．内部B．圆周上

C．外部D．均有可能

3．圆C：

x2＋y2－x＋2y＝0关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为（）

A．x2＋y2＋4x－y＋4＝0

B．x2＋y2＋2x－3y＋4＝0

C．x2＋y2＋4x－3y＋4＝0

D．x2＋y2＋4x－3y＋5＝0

4．在圆x2＋y2＋2x－4y＝0内，过点（0,1）的最短弦所在直线的倾斜角是（）

A.B.C.D.

5．直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0（a>

0）没有公共点，则a的取值范围是（）

A．（0，－1）B．（－1，＋1）

C．（－－1，＋1）D．（0，＋1）

6．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）

A．x＋y＋3＝0

B．2x－y－5＝0

C．3x－y－9＝0

D．4x－3y＋7＝0

二、填空题

7．设点B为点A（3，－4,5）关于xOz面的对称点，则|AB|＝________.

8．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为（x－a）2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是________________．

9．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A（0，－4），B（0，－2）两点，则圆C的方程为___________________________________________________________________．

10．由直线y＝x＋1上的点向圆（x－3）2＋（y＋2）2＝1引切线，则切线长的最小值为________．

11．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点（3,5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．

三、解答题

12．已知圆M：

（x－1）2＋（y－1）2＝4，直线l过点P（2,3）且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．

13．已知圆C经过点P（4，－2），Q（－1,3）两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.

（1）求圆C的方程；

（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，∠AOB＝90°

，求直线l的方程．

答案精析

知识条目排查

知识点一

1．（a，b）r

2．D2＋E2－4F>

0

知识点二

（1）（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2

（2）（x0－a）2＋（y0－b）2>

r2

（3）（x0－a）2＋（y0－b）2<

知识点三

（1）d<

rd＝rd>

r

（2）相交相切相离

知识点四

d>

r1＋r2无解d＝r1＋r2一组实数解|r1－r2|<

d<

r1＋r2两组不同的实数解d＝|r1－r2|（r1≠r2）一组实数解0≤d<

|r1－r2|（r1≠r2）无解

知识点五

1．

（1）x轴、y轴、z轴

（2）点Ox轴、y轴、z轴每两个坐标轴xOyyOzzOx

2．x轴y轴z轴

3．横坐标纵坐标竖坐标

知识点六

（1）

（2）（3）

（4）|x1－x2|

题型分类示例

例1A[设该圆的方程为（x－a）2＋y2＝4（a<

0），

又∵此圆经过原点，∴a2＝4，且a<

0，

∴a＝－2，∴圆的标准方程为（x＋2）2＋y2＝4.]

例2B[圆C1与圆C2的圆心距为＝5，

其两圆的半径分别为1和3，

∵1＋3<

5，∴圆C1与圆C2外离．]

例3B[由<

1，得>

1，∴点P在圆外．]

例4C[因为圆心到直线的距离为＝2，

又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，

圆上到直线的距离为1的点有3个．

]

例5D[设点M的坐标是（x，y），点A的坐标是（x0，y0），

因为点B的坐标是（5,3）且M是AB的中点，

∴x＝，y＝，

∴x0＝2x－5，y0＝2y－3.①

∵点A在圆（x－1）2＋y2＝2上运动，

∴点A的坐标适合方程（x－1）2＋y2＝2，

即（x0－1）2＋y＝2.②

把①代入②，得（2x－5－1）2＋（2y－3）2＝2，

整理得（x－3）2＋（y－）2＝（）2.]

例62

解析x2＋y2－4x＋3＝0化为标准形式为（x－2）2＋y2＝1，圆心为（2,0）．

因为（2,0）关于直线x－y－1＝0对称的点为（1,1），

所以x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为（1,1）．

因为x2＋y2－ax－2y＋1＝0，

即为（x－）2＋（y－1）2＝，

圆心为（，1），所以＝1，即a＝2.

例7，

解析由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，

显然当圆上的点与坐标原点的距离取得最大值和最小值时，其平方也相对应取得最大值和最小值．

原点（0,0）到圆心（－1,0）的距离为d＝1，

故圆上的点到坐标原点的最大距离为

1＋＝，

最小距离为1－＝.

所以x2＋y2的最大值和最小值分别为和.

考点专项训练

1．A[由题意，B（1,0,0），D1（0,1,1），

设P（x，y，z），∵BP＝2PD1，

∴（x－1，y，z）＝2（－x,1－y,1－z），

∴∴x＝，y＝，z＝，

∴P＝（，，），故选A.]

2．C

3．D[圆C：

x2＋y2－x＋2y＝0，

即圆C：

（x－）2＋（y＋1）2＝，

它的圆心为（，－1），半径为，

设圆心（，－1）关于直线x－y＋1＝0对称点为M（x，y），

则由

求得

可得M（－2，）．

故圆C关于直线x－y＋1＝0对称的圆M的方程为（x＋2）2＋（y－）2＝，即x2＋y2＋4x－3y＋5＝0，故选D.]

4．B[把圆的方程化为标准方程得

（x＋1）2＋（y－2）2＝5，

∴圆心坐标为（－1,2），半径r＝，

∴过（0,1）的直径斜率为＝－1，

∴与此直径垂直的弦的斜率为1，

∴过点（0,1）的最短弦所在直线的倾斜角为，故选B.]

5．A[把圆x2＋y2－2ay＝0（a>

0）化为标准方程为x2＋（y－a）2＝a2，所以圆心（0，a），半径r＝a，

由直线与圆没有公共点得到：

圆心（0，a）到直线x＋y＝1的距离d＝>

r＝a，

当a－1>

0，即a>

1时，化简为a－1>

a，

即a（1－）>

1，因为a>

0，无解；

当a－1<

0，即0<

a<

1时，

化简为－a＋1>

即（＋1）a<

1，a<

＝－1，

所以a的取值范围是（0，－1），故选A.]

6．C[由题意知，圆：

x2＋y2－4x＋6y＝0和圆：

x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，

则AB的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程．

圆：

x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心（2，－3）和圆：

x2＋y2－6x＝0的圆心（3,0），

所以所求直线方程为＝，

即3x－y－9＝0，故选C.]

7．88.{1，－1,3，－3}

9．（x－2）2＋（y＋3）2＝5

解析设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，

由已知可得

解得a＝2，b＝－3，r2＝5，

∴圆的方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝5.

10.

解析根据题意画出图形，

当AC垂直于直线y＝x＋1时，