完整版解析几何大题带答案文档格式.docx
《完整版解析几何大题带答案文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《完整版解析几何大题带答案文档格式.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
故直线AB的斜率为
其方程为
解得.
于是直线PB的斜率
因此
解法二:
设.
设直线PB,AB的斜率分别为因为C在直线AB上,所以
从而
28.
(北京理19)
已知椭圆.过点(m,0)作圆的切线I交椭圆G于A,B两点.
(I)求椭圆G的焦点坐标和离心率;
(II)将表示为m的函数,并求的最大值.
(19)(共14分)
(Ⅰ)由已知得
所以
所以椭圆G的焦点坐标为
离心率为
(Ⅱ)由题意知,.
当时,切线l的方程,点A、B的坐标分别为
此时
当m=-1时,同理可得
当时,设切线l的方程为
由
设A、B两点的坐标分别为,则
又由l与圆
由于当时,
所以.
因为
且当时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.
32.(湖南理21)
如图7,椭圆的离心率为,x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。
(Ⅰ)求C1,C2的方程;
(Ⅱ)设C2与y轴的焦点为M,过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E.
(i)证明:
MD⊥ME;
(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问:
是否存在直线l,使得?
请说明理由。
解:
(Ⅰ)由题意知
故C1,C2的方程分别为
(Ⅱ)(i)由题意知,直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为.
由得
.
设是上述方程的两个实根,于是
又点M的坐标为(0,—1),所以
故MA⊥MB,即MD⊥ME.
(ii)设直线MA的斜率为k1,则直线MA的方程为解得
则点A的坐标为.
又直线MB的斜率为,
同理可得点B的坐标为
于是
则点D的坐标为
又直线ME的斜率为,同理可得点E的坐标为
于是.
由题意知,
又由点A、B的坐标可知,
故满足条件的直线l存在,且有两条,其方程分别为
34.(全国大纲理21)
已知O为坐标原点,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为的直线与C交于A、B两点,点P满足
(Ⅰ)证明:
点P在C上;
(Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q,证明:
A、P、B、Q四点在同一圆上.
(I)F(0,1),的方程为,
代入并化简得
…………2分
设
由题意得
所以点P的坐标为
经验证,点P的坐标为满足方程
故点P在椭圆C上。
…………6分
(II)由和题设知,
PQ的垂直平分线的方程为
①
设AB的中点为M,则,AB的垂直平分线为的方程为
②
由①、②得的交点为。
…………9分
故|NP|=|NA|。
又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|,
所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|,
由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上…………12分
36.(山东理22)
已知动直线与椭圆C:
交于P、Q两不同点,且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.
(Ⅰ)证明和均为定值;
(Ⅱ)设线段PQ的中点为M,求的最大值;
(Ⅲ)椭圆C上是否存在点D,E,G,使得?
若存在,判断△DEG的形状;
若不存在,请说明理由.
(I)解:
(1)当直线的斜率不存在时,P,Q两点关于x轴对称,
因为在椭圆上,
因此①
又因为
所以②
由①、②得
(2)当直线的斜率存在时,设直线的方程为
由题意知m,将其代入,得
,
其中
即…………(*)
又
因为点O到直线的距离为
整理得且符合(*)式,
综上所述,结论成立。
(II)解法一:
(1)当直线的斜率存在时,
由(I)知
(2)当直线的斜率存在时,由(I)知
所以,当且仅当时,等号成立.
综合
(1)
(2)得|OM|·
|PQ|的最大值为
即当且仅当时等号成立。
因此|OM|·
(III)椭圆C上不存在三点D,E,G,使得
证明:
假设存在,
由(I)得
因此D,E,G只能在这四点中选取三个不同点,
而这三点的两两连线中必有一条过原点,
与矛盾,
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D,E,G.
40.(天津理18)在平面直角坐标系中,点为动点,分别为椭圆的左右焦点.已知△为等腰三角形.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于两点,是直线上的点,满足,求点的轨迹方程.
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想,考查解决问题能力与运算能力.满分13分.
(I)解:
由题意,可得
即
整理得(舍),
或所以
(II)解:
可得椭圆方程为
直线PF2方程为
A,B两点的坐标满足方程组
消去y并整理,得
得方程组的解
不妨设
设点M的坐标为,
即,
化简得
将
因此,点M的轨迹方程是
42.(重庆理20)如题(20)图,椭圆的中心为原点,离心率,一条准线的方程为.
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设动点满足:
,其中是椭圆上的点,直线与的斜率之积为,问:
是否存在两个定点,使得为定值?
若存在,求的坐标;
若不存在,说明理由.
(I)由
解得,故椭圆的标准方程为
(II)设,则由
得
因为点M,N在椭圆上,所以
故
设分别为直线OM,ON的斜率,由题设条件知
所以P点是椭圆上的点,设该椭圆的左、右焦点为F1,F2,则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值,又因,因此两焦点的坐标为