届一轮复习全国通用版理 第23讲 解三角形应用举例 学案Word格式文档下载.docx

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（2）北偏西α，即由指北方向！

　逆时针　###旋转α到达目标方向.

（3）南偏西等其他方向角类似.

4．坡度（比）

坡角：

坡面与水平面所成的！

　二面角　###的度数（如图④，角θ为坡角）.

坡比：

坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度（比））.

5．解三角形应用题的一般步骤

（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系.

（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型.

（3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.

（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位、近似计算的要求等.

1．思维辨析（在括号内打“√”或“×

”）.

（1）公式S＝bcsinA＝acsinB＝absinC适用于任意三角形.（　√　）

（2）东北方向就是北偏东45°

的方向.（　√　）

（3）俯角是铅垂线与视线所成的角.（　×

　）

（4）方位角大小的范围是［0,2π），方向角大小的范围一般是.（　√　）

解析　

（1）正确.三角形的面积公式对任意三角形都成立.

（2）正确.数学中的东北方向就是北偏东45°

或东偏北45°

的方向.

（3）错误.俯角是视线与水平线所构成的角.

（4）正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为［0,2π），而方向角大小的范围由定义可知为.

2．若点A在点C的北偏东30°

，点B在点C的南偏东60°

，且AC＝BC，则点A在点B的（　B　）

A．北偏东15°

　　　　B．北偏西15°

C．北偏东10°

　　　　D．北偏西10°

解析　如图所示，∠ACB＝90°

.又AC＝BC，

∴∠CBA＝45°

，而β＝30°

，

∴α＝90°

－45°

－30°

＝15°

.

∴点A在点B的北偏西15°

3．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的

距离为50m，∠ACB＝45°

，∠CAB＝105°

，则A，B两点的距离为（　A　）

A．50m　　　B．50m

C．25m　　　D．m

解析　由正弦定理得

AB＝＝＝50（m）.

4．在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°

，∠CBA＝60°

，则A，C两点之间的距离为！

　　###千米.

解析　如图所示，由题意知∠C＝45°

由正弦定理得＝，

∴AC＝×

＝.

5．一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°

，另一灯塔在船的南偏东75°

，则这艘船每小时航行！

　8　###海里.

解析　如图，由题意知在△ABC中，

∠ACB＝75°

－60°

∠B＝15°

，∴AC＝AB＝8.

在Rt△AOC中，OC＝AC·

sin30°

＝4.

∴这艘船每小时航行＝8（海里）.

一　距离问题

求解距离问题的一般步骤

（1）选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化为三角形问题.

（2）明确要求的距离所在的三角形有哪几个已知元素.

（3）确定使用正弦定理或余弦定理解三角形.

【例1】要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距km的点C，点D，并测得∠ACB＝75°

，∠BCD＝45°

，∠ADC＝30°

，∠ADB＝45°

，则点A，B之间的距离为！

　　###km.

解析　如图，在△ACD中，∠ACD＝120°

，∠CAD＝∠ADC＝30°

∴AC＝CD＝（km）.

在△BCD中，∠BCD＝45°

∠BDC＝75°

，∠CBD＝60°

∴BC＝＝.

在△ABC中，由余弦定理，得

AB2＝（）2＋2－2×

×

cos75°

＝3＋2＋－＝5，∴AB＝（km），即A，B之间的距离为km.

二　高度问题

高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.

【例2】要测量电视塔AB的高度，在点C测得塔顶A的仰角是45°

，在点D测得塔顶A的仰角是30°

，并测得水平面上的∠BCD＝120°

，CD＝40m，则电视塔的高度为！

　40　###m.

解析　设电视塔AB高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°

，得BC＝x.在Rt△ADB中，由∠ADB＝30°

，得BD＝x.

在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·

CD·

cos120°

，即（x）2＝x2＋402－2·

x·

40·

，解得x＝40，所以电视塔高为40m.

三　角度问题

解决角度问题的注意点

（1）首先应明确方位角或方向角的含义.

（2）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.

（3）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用.

【例3】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°

方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°

方向前进，红方侦察艇以每小时14nmile的速度沿北偏东45°

＋α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.

解析　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，

则AC＝14x，

BC＝10x，∠ABC＝120°

根据余弦定理得

（14x）2＝122＋（10x）2－240xcos120°

解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.

根据正弦定理得＝，

解得sinα＝＝.

所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.

1．如图所示，位于A处的信息中心获悉：

在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°

，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ＝（　B　）

A．　　　B．　　　　

C．　　　D．

解析　如题图所示，在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°

，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·

AC·

＝2800，故BC＝20（海里）.

由正弦定理，得sin∠ACB＝·

sin∠BAC＝，由∠BAC＝120°

，知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝.故cosθ＝cos（∠ACB＋30°

）＝cos∠ACBcos30°

－sin∠ACBsin30°

第1题图

　　第2题图

2．如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD＝（　B　）

A．30°

　　　B．45°

C．60°

　　　D．75°

解析　依题意可得AD＝20m，AC＝30m，又CD＝50m，所以在△ACD中，

由余弦定理得cos∠CAD＝

＝＝＝，

又0°

<

∠CAD<

180°

，所以∠CAD＝45°

所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°

3．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡A处测得∠DAC＝15°

，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°

，根据以上数据可得cosθ＝！

　－1　###.

解析　由∠DAC＝15°

，∠DBC＝45°

，可得∠BDA＝30°

，∠DBA＝135°

，∠BDC＝90°

－（15°

＋θ）－30°

＝45°

－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°

－（45°

－θ）－45°

＝90°

＋θ，根据正弦定理可得＝，即DB＝100sin15°

＝100×

sin（45°

）＝25（－1），又＝，

即＝，得到cosθ＝－1．

4．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°

的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°

的方向上，仰角为30°

，则此山的高度CD＝！

　100　###m.

解析　依题意有AB＝600，∠CAB＝30°

，∠CBA＝180°

－75°

＝105°

，∠DBC＝30°

，DC⊥CB.∴∠ACB＝45°

在△ABC中，由＝，得＝，

有CB＝300，在Rt△BCD中，CD＝CB·

tan30°

＝100，则此山的高度CD＝100m.

易错点　不注意实际问题中变量的取值范围

错因分析：

三角形中的最值问题，可利用正弦、余弦定理建立函数模型（或三角函数模型），转化为函数最值问题.求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义.

【例1】某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°

且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.

解析　

（1）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则

S＝

＝

故当t＝时，Smin＝10，v＝＝30.

即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.

（2）设小艇与轮船在B处相遇.

则v2t2＝400＋900t2－2·

20·

30t·

cos（90°

），

故v2＝900－＋.

∵0<

v≤30，∴900－＋≤900，

即－≤0，解得t≥.又t＝时，v＝30，

故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于.

此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20.

故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°

，航行速度为30海里/小时.

【跟踪训练1】如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.

现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.

（1）求索道AB的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

解析　

（1）在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝.

从而sinB＝sin［π－（A＋C）］＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsin