平行四边形的证明题Word下载.docx

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5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．

6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．

四边形MFNE是平行四边形．

7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．

四边形AECF是平行四边形．

8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：

四边形BEDF是平行四边形．

9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：

BC=DE．

10．已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？

11．如图：

已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，

AE与DF互相平分．

12．已知：

如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：

四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．

13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．

EF和GH互相平分．

14．如图：

▱ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．

15．已知：

如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：

四边形EHFG是平行四边形．

16．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．

四边形GEHF是平行四边形；

（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则

（1）中的结论是否成立？

（不用说明理由）

17．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．

AF=CE；

（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°

，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．

18．如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°

，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2

D是EC中点；

（2）求FC的长．

19．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°

，DC=EF．

四边形EFCD是平行四边形；

（2）若BF=EF，求证：

AE=AD．

20．如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

（1）请判断四边形EFGH的形状？

并说明为什么；

（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？

21．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．

（1）当AB≠AC时，证明：

四边形ADFE为平行四边形；

（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？

直接写出构成图形的类型和相应的条件．

22．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF，那么，四边形AFED是否为平行四边形？

如果是，请证明之，如果不是，请说明理由．

23．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：

PD+PE+PF=AB．

请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；

若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明

24．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°

，M为AB边中点．操作：

以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．

探究：

（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；

（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；

（3）经历

（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；

如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；

（注意：

错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）

（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．

25．在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；

（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有　无数　组；

（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；

（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？

26．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．

（1）求CD的长；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；

（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？

若存在，请求出所有满足条件的t的值；

若不存在，请说明理由．

27．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O（0，0）、A（2，0）、B（1，1），则第四个顶点C的坐标是多少？

28．已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且cm，，求平行四边形ABCD的面积．

29．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣3，），B（﹣2，3），C（2，3），点D在第一象限．

（1）求D点的坐标；

（2）将平行四边形ABCD先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？

（3）求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？

30．如图所示．▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：

BE=CF．

1、解答：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

∴∠AEB=∠CFD=90°

，∴△ABE≌△CDF（A．A．S．），∴BE=DF；

（2）四边形MENF是平行四边形．

证明：

有

（1）可知：

BE=DF，∵四边形ABCD为平行四边行，

∴AD∥BC，∴∠MDB=MBD，

∵DM=BN，∴△DNF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，∴∠MFE=∠NEF，

∴MF∥NE，∴四边形MENF是平行四边形．

2、解答：

∵四边形AECF是平行四边形

∴OE=OF，OA=OC，AE∥CF，∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，

∴△FDO≌△EBO，∴OD=OB，∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形．

3、解答：

（1）∵BF=DE，∴BF﹣EF=DE﹣EF，即BE=DE，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°

，

∵AB=CD，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；

（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF，∴AB∥CD，

∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．

4、解答：

∵DE，DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形AEDF是平行四边形，

又∵∠BAC=90°

，∴平行四边形AEDF是矩形，∴EF=AD．

5、解答：

解：

猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：

平行且相等．

∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，

∵OA=OC，∴△ADO≌△ECO，∴AD=CE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴CDAE．

6、解答：

由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，

又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF，∴DE=BF，∠AED=∠CFB

又∵M、N分别是DE、BF的中点，∴ME=NF

又由AB∥DC，得∠AED=∠EDC∴∠EDC=∠BFC，∴ME∥NF∴四边形MFNE为平行四边形．

7、解答：

连接AC交BD于点O，

∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．

∵BE=DF，∴OE=OF．∴四边形AECF为平行四边形．

8、解答：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．

又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，∴DE=BF，AE=CF．∠DAE=∠BCF=60°

．

∵∠DCF=∠BCD﹣∠BCF，∠BAE=∠DAB﹣∠DAE，

∴∠DCF=∠BAE．∴△DCF≌△BAE（SAS）．∴DF=BE．∴四边形BEDF是平行四边形．

9、解答：

∵E是AC的中点，∴EC=AC，

又∵DB=AC，∴DB=EC．

又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．

10、解答：

设P，Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t，PD=24﹣t，CQ=2t，BQ=30﹣2t．

（1）若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ，∴24﹣t=2t∴t=8∴8秒后四边形PDCQ是平行四边形；

（2）若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ，∴t=30﹣2t∴t=10∴10秒后四边形APQB是平行四边形

11、解答：

∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：

DE∥AC，DE=AF，

EF∥AB，EF=AD，

∴四边形ADEF为平行四边形．故AE与DF互相平分．

12、解答：

∵▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，∴OB=OD，

又∵四边形AODE是平行四边形，∴AE∥OD且AE=OD，∴AE∥OB且AE=OB，

∴四边形ABOE是平行四边形，同理可证，四边形DCOE也是平行四边形．

13、解答：

连接EG、GF、FH、HE，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．

在△ABC中，EG=BC；

在△DBC中，HF=BC，

∴EG=HF．

同理EH=GF．

∴四边形EG