全等三角形培优竞赛专题.docx

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全等三角形培优竞赛专题

全等三角形培优竞赛专题

1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；

（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．

你在

（1）中得到的结论是否发生变化？

写出你的猜想并加以证明．

（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问

（1）中的结论是否仍然成立？

2、数学课上，张老师出示了问题：

如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：

AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：

取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：

如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？

如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：

如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？

如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

3、已知中，为边的中点，

绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、

当绕点旋转到于时（如图1），易证

当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明．

4、在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交

于两点．

（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？

并证明你的结论；

（2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由；

（3）在

（2）的情况下，求的长．

5、如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：

CD=BE，△AMN是等边三角形．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？

若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）

（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？

若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．（6分）

6、点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，线段AN,MC交于点E，BM,CN交于点F。

求证：

（1）AN=MB.

（2）△CEF为等边三角形。

（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，其他条件不变，

（1）中的结论是否依然成立？

（只回答不证明），

（4）AN与BM相交所夹锐角是否发生变化，（只回答不证明）。

7、问题：

已知中，，点是内的一点，且，．探究与度数的比值．

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．

（1）当时，依问题中的条件补全右图．

观察图形，与得数量关系为________；

当退出时，可进一步推出的度数为_______；可得到与度数的比值为_________．

（2）当时，请你画出图形，研究与度数的比值是否与

（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

8、直线CD经过的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且．

（1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若，则（填“”，“”或“”号）；

②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是；

（2）如图3，若直线CD经过的外部，，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．

9、

（1）如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,

CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.

求证：

BE＝CF.

第23题图1

（2）如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,

BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF

＝4.求GH的长.

第23题图2

（3）已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,

∠FOH＝90°,EF＝4.直接写出下列两题的答案：

①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；

②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长（用n的代数式表示）.

第23题图4

第23题图3

10、如图，直角梯形ABCD中，，，且，过点D作，交的平分线于点E，连接BE．

（1）求证：

；

（2）将绕点C，顺时针旋转得到，连接EG.．求证：

CD垂直平分EG.

（3）延长BE交CD于点P．求证：

P是CD的中点．

11、已知：

如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．

（1）求证：

AB=CD；

（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD

的数量关系，并说明理由．

12、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.

⑴求证：

△AMB≌△ENB；

⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；