知识要点空间直角坐标系Word文件下载.docx
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点关于坐标平面的对称点为;
点关于原点的对称点。
4.已知空间两点,则线段的中点坐标为
5.空间两点间的距离公式
已知空间两点,
则两点的距离为,
特殊地,点到原点的距离为;
5.以为球心,为半径的球面方程为
特殊地,以原点为球心,为半径的球面方程为
★重难点突破★
重点:
了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系表示点的位置,会推导和使用空间两点间的距离公式
难点:
借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比,认识空间点的对称及坐标间的关系
重难点:
在空间直角坐标系中,点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用
1.借助空间几何模型进行想象,理解空间点的位置关系及坐标关系
问题1:
点到轴的距离为
[解析]借助长方体来思考,以点为长方体对角线的两个顶点,点到轴的距离为长方体一条面对角线的长度,其值为
2.将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系
问题2:
对于任意实数,求的最小值
[解析]在空间直角坐标系中,表示空间点到点的距离与到点的距离之和,它的最小值就是点与点之间的线段长,所以的最小值为。
3.利用空间两点间的距离公式,可以解决的几类问题
(1)判断两条相交直线是否垂直
(2)判断空间三点是否共线
(3)得到一些简单的空间轨迹方程
★热点考点题型探析★
考点1:
空间直角坐标系
题型1:
认识空间直角坐标系
[例1]
(1)在空间直角坐标系中,表示()
A.轴上的点B.过轴的平面
C.垂直于轴的平面D.平行于轴的直线
(2)在空间直角坐标系中,方程表示
A.在坐标平面中,1,3象限的平分线B.平行于轴的一条直线
C.经过轴的一个平面D.平行于轴的一个平面
【解题思路】认识空间直角坐标系,可以类比平面直角坐标系,如在平面直角坐标系坐标系中,方程表示所有横坐标为1的点的集合
[解析]
(1)表示所有在轴上的投影是点的点的集合,所以表示经过点且垂直于轴的平面
(2)方程表示在任何一个垂直于轴的一个平面内,1,3象限的平分线组成的集合
【名师指引】
(1)类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系
(2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。
如:
经过点且垂直于轴的平面上的点都可表示为
题型2:
空间中点坐标公式与点的对称问题
[例2]点关于轴的对称点为,点关于平面的对称点为,则的坐标为
【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系,得到空间直角坐标系中的对称关系
[解析]因点和关于轴对称,所以点和的竖坐标相同,且在平面的射影关于原点对称,故点的坐标为,
又因点和关于平面对称,所以点坐标为
【名师指引】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找关系,如借助空间想象,在例2中可以直接得出点为点关于原点的对称点,故坐标为
【新题导练】
1.已知正四棱柱的顶点坐标分别为,,则的坐标为。
[解析]正四棱柱过点A的三条棱恰好是坐标轴,
的坐标为(2,2,5)
2.平行四边形的两个顶点的的坐标为,对角线的交点为,则顶点C的坐标为,顶点D的坐标为
[解析]由已知得线段的中点为,线段的中点也是,由中点坐标公式易得
,
3.已知,记到轴的距离为,到轴的距离为,到轴的距离为,则()
A.B.C.D.
[解析]借助长方体来思考,、、分别是三条面对角线的长度。
,选C
考点2:
空间两点间的距离公式
题型:
利用空间两点间的距离公式解决有关问题
[例3]如图:
已知点,对于轴正半轴上任意一点,在轴上是否存在一点,使得恒成立?
若存在,求出点的坐标;
若不存在,说明理由。
【解题思路】转化为距离问题,即证明
[解析]设,
对于轴正半轴上任意一点,假设在轴上存在一点,使得恒成立,
则
即,解得:
所以存在这样的点,当点为时,恒成立
【名师指引】在空间直角坐标系中,利用距离可以证明垂直问题。
此外,用距离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹。
4.已知,当两点间距离取得最小值时,的值为()
A.19B.C.D.
[解析]
当时,取得最小值
5.已知球面,与点,则球面上的点与点距离的最大值与最小值分别是。
[解析]球心,球面上的点与点距离的最大值与最小值分别是9和3
6.已知三点,是否存在实数,使A、B、C共线?
若存在,求出的值;
[解析],
因为,所以,若三点共线,有或,
若,整理得:
,此方程无解;
,此方程也无解。
所以不存在实数,使A、B、C共线。
★抢分频道★
基础巩固训练
1.将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时,我们通常将轴与轴,轴与轴所成的角画成()
解析:
选B
2.点在平面上的投影点的坐标是()
A.B.C.D.
两点的纵坐标、竖坐标不变,选B
3.三棱锥中,此三棱锥的体积为()
A.1B.2C.3D.6
[解析]两两垂直,
4.(2007山东济宁模拟)设点B是点A(2,-3,5)关于平面的对称点,则|AB|等于()
A.10B.C.D.38
[解析]A
点A(2,-3,5)关于平面的对称点为,
5.(2007年湛江模拟)点关于轴的对称点为,关于平面的对称点为,则=
[解析],,
6.正方体不在同一表面上的两顶点P(-1,2,-1),Q(3,-2,3),则正方体的体积是
[解析]不共面,为正方体的一条对角线,,正方体的棱长为4,体积为64
综合提高训练
7.空间直角坐标系中,到坐标平面,,的距离分别为2,2,3的点有
A.1个B.2个C.4个D.8个
8个。
分别为(3,2,2)、(3,2,-2)、(3,-2,2)、(3,-2,-2)、(-3,2,2)、(-3,2,-2)、(-3,-2,2)、(-3,-2,-2)
8.(2007山东昌乐模拟)三角形的三个顶点的坐标为,则的形状为()
A.正三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形
[解析]C
9.(2008年佛冈一中模拟)已知空间直角坐标系中有一点,点是平面内的直线上的动点,则两点的最短距离是()
A.B.C.3D.
[解析]因为点B在平面内的直线上,故可设点B为,
所以,
所以当时,AB取得最小值,此时点B为。
10.如图,以棱长为的正方体的三条棱为坐标轴,建立空间直角坐标系,点在正方体的对角线上,点在正方体的棱上。
(1)当点为对角线的中点,点在棱上运动时,
探究的最小值;
(2)当点在对角线上运动,点为棱的中点时,
[解析]由已知,
(1)当点为对角线的中点时,点坐标为,
设,则,
当时,取到最小值为,此时为的中点。
(2)当点为棱的中点时,点的坐标为,设,则,
,,所以点的坐标为,
所以,当,即为的中点时,取到最小值。