精编版全国各地中考数学试题分类解析汇编代数综合Word格式文档下载.docx

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yi+1－yi

7

11

由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5...

请答复：

当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？

【答案】解：

〔1〕n是任意整数，那么表示任意一个奇数的式子是：

2n+1。

〔2〕有理数b=〔n≠0〕。

〔3〕①当x的取值从0开始每增加个单位时，列表如下：

故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…。

②当x的取值从0开始每增加个单位时，列表如下：

【考点】分类归纳〔数字的变化类〕，二次函数的性质，实数。

【分析】〔1〕n是任意整数，偶数是能被2整除的数，那么偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1。

〔2〕根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案。

〔3〕根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律。

2.〔2021广东梅州10分〕〔1〕一元二次方程x2+px+q=0〔p2﹣4q≥0〕的两根为x1、x2；

求证：

x1+x2=﹣p，x1•x2=q．

〔2〕抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点〔﹣1，﹣1〕，设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．

【答案】〔1〕证明：

∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，

∴。

〔2〕解：

把〔﹣1，﹣1〕代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。

设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为〔x1，0〕、〔x2，0〕。

∵d=|x1﹣x2|，

∴d2=〔x1﹣x2〕2=〔x1+x2〕2﹣4x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=〔p﹣2〕2+4。

∴当p=2时，d2的最小值是4。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。

【分析】〔1〕根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。

【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】

〔2〕把点〔﹣1，﹣1〕代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。

3.〔2021广东湛江12分〕先阅读理解下面的例题，再按要求解答以下问题：

例题：

解一元二次不等式x2﹣4＞0

解：

∵x2﹣4=〔x+2〕〔x﹣2〕

∴x2﹣4＞0可化为

〔x+2〕〔x﹣2〕＞0

由有理数的乘法法那么“两数相乘，同号得正〞，得

解不等式组①，得x＞2，

解不等式组②，得x＜﹣2，

∴〔x+2〕〔x﹣2〕＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，

即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．

〔1〕一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为　　；

〔2〕分式不等式的解集为　　；

〔3〕解一元二次不等式2x2﹣3x＜0．

〔1〕x＞4或x＜﹣4。

〔2〕x＞3或x＜1。

〔3〕∵2x2﹣3x=x〔2x﹣3〕

∴2x2﹣3x＜0可化为x〔2x﹣3〕＜0

由有理数的乘法法那么“两数相乘，异号得负〞，得

或。

解不等式组①，得0＜x＜，解不等式组②，无解。

∴不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜。

【考点】有理数的乘法法那么，一元一次不等式组的应用。

【分析】〔1〕将一元二次不等式的左边因式分解后根据有理数的乘法法那么“两数相乘，同号得正〞化为两个一元一次不等式组求解即可。

〔2〕根据有理数的除法法那么“两数相除，同号得正〞，可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可。

〔3〕将一元二次不等式的左边因式分解后，有理数的乘法法那么“两数相乘，异号得负〞，化为两个一元一次不等式组求解即可。

4.〔2021贵州黔西南14分〕问题：

方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是方程根的2倍。

设所求方程的根为y，那么y=2x，所以

把代入方程，得

化简，得：

故所求方程为

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法〞。

请阅读材料提供的“换根法〞求新方程〔要求：

把所求方程化成一般形式〕

〔1〕方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是方程根的相反数，那么所求方程为：

；

〔2〕关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二方程，使它的根分别是方程的倒数。

〔1〕y2－y－2=0。

〔2〕设所求方程的根为y，那么〔x≠0〕，于是〔y≠0〕。

把代入方程，得，

去分母，得a+by+cy2=0。

假设c=0，有，可得有一个解为x=0，与不符，不符合题意。

∴c≠0。

∴所求方程为cy2+by+a=0〔c≠0〕。

【考点】一元二次方程的应用。

【分析】〔1〕设所求方程的根为y，那么y=－x所以x=－y。

把x=－y代入方程，得y2－y－2=0。

〔2〕根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即得出所求的方程。

5.〔〔2021江苏南京9分〕“？

〞的思考

下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅。

我的结果也正确

小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并翻开了一个“？

〞

结果为何正确呢？

〔1〕请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：

变化一下会怎样……

〔2〕如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：

AB=2：

1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？

请说明理由．

〔1〕小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：

1的理由。

在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，那么长为2xm．〞前补充以下过程：

设温室的宽为ym，那么长为2ym。

那么矩形蔬菜种植区域的宽为〔y－1－1〕m，长为〔2y－3－1〕m。

∵，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：

1。

〔2〕a+cb+d=2。

理由如下：

要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，

即，即a+cb+d=2。

【考点】一元二次方程的应用〔几何问题〕，相似多边形的性质，比例的性质。

【分析】〔1〕根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：

1的理由，所以由条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可。

〔2〕由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得，然后利用比例的性质。

6.〔2021江苏盐城12分〕

知识迁移：

当且时，因为≥,所以≥,从而≥（当

时取等号）.记函数,由上述结论可知：

当时,该函数有最小值为.

直接应用：

函数与函数,那么当_________时,取得最小值

为_________.

变形应用：

函数与函数,求的最小值,并指出取得该

最小值时相应的的值.

实际应用：

某汽车的一次运输本钱包含以下三个局部：

一是固定费用,共元；

二是燃油费,每

千米为元；

三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为.设该汽车一次运输的路程为千米,

求当为多少时,该汽车平均每千米的运输本钱最低？

最低是多少元？

直接应用：

1；

2。

变形应用：

∵，

∴有最小值为。

当，即时取得该最小值。

实际应用：

设该汽车平均每千米的运输本钱为元，那么

，

∴当（千米）时,

该汽车平均每千米的运输本钱最低，

最低本钱为元。

【考点】二次函数的应用，几何不等式。

【分析】直接运用：

可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果：

∵函数,由上述结论可知：

当时,该函数有最小值为，

∴函数与函数，那么当时，取得最小值为。

变形运用：

先得出的表达式，然后将看做一个整体，再运用所给结论即可。

实际运用：

设该汽车平均每千米的运输本钱为元，那么可表示出平均每千米的运输本钱，利用所

给的结论即可得出答案。

7.〔2021四川内江12分〕如果方程的两个根是，那么请根据以上结论，解决以下问题：

（1）关于的方程求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是方程两根的倒数；

（2）满足,求；

（3）满足求正数的最小值。

〔1〕设关于的方程的两根为，那么有：

，且由所求方程的两根为

∴，。

∴所求方程为，即。

〔2〕∵满足，

∴是方程的两根。

∴。

〔3〕∵且∴。

∴是一元二次方程的两个根，

代简，得。

又∵此方程必有实数根，∴此方程的，即，。

又∵∴。

∴。

∴正数的最小值为4。

．

【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。

【分析】〔1〕设方程的两根为，得出，，再根据这个一元二次方程的两个根分别是方程两根的倒数，即可求出答案。

〔2〕根据满足，得出是一元二次方程的两个根，由，即可求出的值。

〔3〕根据，得出，是一元二次方程的两个根，再根据，即可求出c的最小值。

8.〔2021山东济宁8分〕有四张形状、大小和质地相同的卡片A、B、C、D，正面分别写有一个正多边形〔所有正多边形的边长相等〕，把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张〔不放回〕，接着再随机抽取一张．

〔1〕请你用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果；

〔2〕如果在〔1〕中各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率；

〔3〕假设两种正多边形构成平面镶嵌，p、q表示这两种正多边形的个数，x、y表示对应正多边形的每个内角的度数，那么有方程px+qy=360，求每种平面镶嵌中p、q的值．

〔1〕画树形图如下：

所有出现的结果共有12种。

〔2〕∵两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的情况有4种：

AB，AD，BA，DA，

∴P〔两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌〕=。

〔3〕当正三角形和正方形构成平面镶嵌时，那么有60p+90q=360，即2p+3q=12。

∵p、q是正整数，∴p=3，q=2。

当正三角形和六边形构成平面镶嵌时，那么有60p+120q=360，即p+2q=6。

∵p、q是正整数，∴p=4，q=1或p=2，q=2。

【考点】列表法和树状图法，概率，多边形内角和定理，平面镶嵌〔密