新人教版八年级数学下册期中知识点汇总文档格式.docx
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二次根式()的非负性
()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。
因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;
若,则a=0,b=0;
若,则a=0,b=0。
例4
(1)已知y=++5,求的值.
(2)若+=0,求a2004+b2004的值
知识点四:
二次根式()的性质
()
文字语言叙述为:
一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用:
若,则,如:
,.
例1.计算
1.()22.(3)23.()24.()2
例2.在实数范围内分解下列因式:
(1)x2-3
(2)x4-4(3)2x2-3
知识点五:
二次根式的性质
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,
即;
若a是负数,则等于a的相反数-a,即;
2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;
3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。
例1化简
(1)
(2)(3)(4)
例2填空:
当a≥0时,=_____;
当a<
0时,=_______,并根据这一性质回答下列问题.
(1)若=a,则a可以是什么数?
(2)若=-a,则a是什么数?
(3)>
a,则a是什么数?
例3当x>
2,化简-.
知识点六:
与的异同点
1、不同点:
与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;
在中,而中a可以是正实数,0,负实数。
但与都是非负数,即,。
因而它的运算的结果是有差别的,
,而
2、相同点:
当被开方数都是非负数,即时,=;
时,无意义,而.
知识点七:
二次根式的乘除
1、乘法·
=(a≥0,b≥0)反过来:
=·
(a≥0,b≥0)
2、除法=(a≥0,b>
0)反过来,=(a≥0,b>
0)
(思考:
b的取值与a相同吗?
为什么?
不相同,因为b在分母,所以不能为0)
例1.计算
(1)4×
(2)×
(3)×
(4)×
例2化简
(1)
(2)(3)(4)
例3.判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:
(1)
=4×
×
=4=8
例4.计算:
(1)
(2)(3)(4)
例5.化简:
(1)
(2)(3)(4)
例6.已知,且x为偶数,求(1+x)的值.
3、最简二次根式应满足的条件:
(1)被开方数不含分母或分母中不含二次根式;
(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式
(熟记20以内数的平方;
因数或因式间是乘积的关系,当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式,然后再观察各个因式的指数是否是2(或2的倍数),若是则说明含有能开方的因式,则不满足条件,就不是最简二次根式)
例1.把下列二次根式化为最简二次根式
(1);
(2);
(3)
4、化简最简二次根式的方法:
(1)把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式,即分解因式;
(2)化去根号内的分母(或分母中的根号),即分母有理化;
(3)将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来.(此步需要特别注意的是:
开到根号外的时候要带绝对值,注意符号问题)
5.有理化因式:
一般常见的互为有理化因式有如下几类:
①与;
②与;
③与;
④与.
说明:
利用有理化因式的特点可以将分母有理化.
13、同类二次根式:
被开方数相同的(最简)二次根式叫同类二次根式。
判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。
如与
知识点八:
二次根式的加减
1、二次根式的加减法:
先把各个二次根式化为最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)进行合并。
(合并方法为:
将系数相加减,二次根式部分不变),不能合并的直接抄下来。
例1.计算
(1)+
(2)+
第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;
第二步,将相同的最简二次根式进行合并.
解:
(1)+=2+3=(2+3)=5
(2)+=4+8=(4+8)=12
例2.计算
(1)3-9+3
(2)(+)+(-)
例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(+y2)-(x2-5x)的值.
2、二次根式的混合运算:
先计算括号内,再乘方(开方),再乘除,再加减
3、二次根式的比较:
(1)若,则有;
(2)若,则有.
(3)将两个根式都平方,比较平方后的大小,对应平方前的大小
例4.比较3与4的大小
【勾股定理】
勾股定理:
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
即:
。
常见勾股数:
3、4、5;
6、8、10;
5、12、13;
8、15、17;
7、24、25。
这个一定要牢记于心。
考点一:
勾股定理的直接应用
例1.正方形的面积是2,它的对角线长为()
A、1B、2C、D、
例2.如图,由Rt△ABC的三边向外作正方形,若最大正方形的边长为8cm,则正方形M与正方形N的面积之和为
考点二:
求第三条边的长
例1.若中,且c=37,a=12,则b=()
A、50B、35C、34D、26
例2.已知两线段的长为6cm和8cm,当第三条线段取时,这三条线段能组成一个直角三角形。
(提示:
所给的两条变长不一定都为直角边。
)
例3.若一个直角三角形的三边分别为a、b、c,,则()
A、169B、119C、169或119D、13或25
考点三:
与高、面积有关
例1.两个直角边分别是3和4的直角三角形斜边上的高是
例2.等腰三角形的底边为10cm,周长为36cm,则它的面积是
◆勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a、b、c满足,那么这个三角形是直角三角形。
判断步骤:
(1)比较a、b、c大小,找最长边;
(2)计算两条短边的平方和,看是否与最长边的平方相等。
例1.木工师傅要做一个长方形桌面,做好后量得长为80cm,宽为60cm,对角线为100cm,则这个桌面。
(填“合格”或“不合格”)
例2.试判断:
三边长分别是的三角形是不是直角三角形?
【习题】
一、选择题
1、把直角三角形的两直角边均扩大到原来的2倍,则斜边扩大到原来的几倍?
()
A、2B、4C、3D、5
2、等腰△ABC的底边BC为16,底边上的高AD为6,则腰长AB的长为()
A.10B.12C.15D.20
3、将一根24cm的筷子,置于底面直径为15cm,高8cm的圆柱形水杯中,如右图所示,设筷子露在杯子外面的长度hcm,则h的取值范围是()
A、h≤17cmB、h≥8cmC、15cm≤h≤16cmD、7cm≤h≤16cm
二、填空题
1、如果梯子底端离建筑物5m,那么13m长的梯子可达到建筑物的高度是____________m。
2、如图,一圆柱高,底面半径,一只蚂蚁从点爬到点处吃食,要爬行的最短路程是cm
3.、如右图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为5,则正方形A,B,C,D的面积的
和为。
4.一个零件的形状如图,按规定这个零件的与都要是直角,工人师傅量得零件各边尺寸:
AD=4,AB=3,DC=12,BC=13,BD=5。
这个零件符合要求吗?
5.如图,南北方向MN为我国领海线,即MN以西是我国领海,以东为公海,上午9时50分,我国反走私艇A发现正东方向有一走私船C以13海里/时的速度偷偷向我国领海开来,便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切关注。
反走私艇A和走私船C的距离是13海里,A、B两艇的距离为5海里,反走私艇B测得距离C船12海里,若走私船C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海?
(精确到分)
A
B
C
M
N
四边形知识点总结:
1.四边形的内角和与外角和定理:
(1)四边形的内角和等于360°
;
(2)四边形的外角和等于360°
.
2.多边形的内角和与外角和定理:
(1)n边形的内角和等于(n-2)180°
(2)任意多边形的外角和等于360°
3.平行四边形的性质:
因为ABCD是平行四边形Þ
4.平行四边形的判定:
5.矩形的性质:
因为ABCD是矩形Þ
6.矩形的判定:
Þ
四边形ABCD是矩形.
7.菱形的性质:
因为ABCD是菱形
8.菱形的判定:
四边形四边形ABCD是菱形.
9.正方形的性质:
因为ABCD是正方形
(1)
(2)(3)
10.正方形的判定:
四边形ABCD是正方形.
(3)∵ABCD是矩形
又∵AD=AB
∴四边形ABCD是正方形
例1:
如图1,平行四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F.求证:
∠BAE=∠DCF.
(图1)
D
E
F
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABE=∠CDF,AB=CD.
又∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°
,
∴△ABE≌△CDF.
∴∠BAE=∠DCF.
O
(图2)
例2:
如图2,矩形ABCD中,AC与BD交于O点,BE⊥AC于E,CF⊥BD于F.求证:
BE=CF.