浙江省高考数学试题理分类解析汇编数列数学归纳法共13页word资料Word文件下载.docx

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故选C。

3.（浙江2008年理5分）已知是等比数列，，则=【】

A．16（）B．16（）C．（）D．（）

【考点】等比数列的前n项和。

【分析】由，

∴数列仍是等比数列：

其首项是，公比为。

4.（浙江2010年理5分）设为等比数列的前项和，，则【】

（A）11（B）5（C）（D）

【答案】D。

【考点】等比数列的通项公式与前n项和公式。

【分析】∵是，，∴设公比为，得，解得=－2。

∴。

故选D。

二、填空题

1.（浙江2006年理4分）设为等差数列的前项和，若，则公差为　　▲　　（用数字作答）.

【答案】－1。

【考点】等差数列的性质，数列的求和。

【分析】设首项为，公差为，代入和，从而求解求得和：

2.（浙江2009年理4分）设等比数列的公比，前项和为，则　　▲　　．

【答案】15。

【考点】等比数列的性质。

【分析】通过等比数列的求和公式，表示出，由，把和代入约分化简可得到答案：

对于，，∴。

3.（浙江2010年理4分）设，将的最小值记为，则其中=▲.

【答案】。

【考点】归纳推理。

【分析】利用归纳和类比进行简单的推理，据的定义，列出的前几项：

由此规律，我们可以推断：

。

4.（浙江2010年理4分）设为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围是▲.

【考点】等差数列的性质，等差数列的前项和。

【分析】∵，∴，即。

则的取值范围是。

三、解答题

1.（全国2002年理12分）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

【答案】解：

设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，每年新增汽车万辆，则，，

对于，有

∴当，即时，；

当，即时，数列逐项增加，可以任意靠近，即

∴如果要求汽车保有量不超过60万辆，即（），

则，即万辆。

综上，每年新增汽车不应超过万辆。

【考点】基本不等式在最值问题中的应用，数列的递推式，数列的极限。

【分析】设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，，每年新增汽车万辆，依题意可知，根据题意可表示出关于的递推式，利用等比数列的求和公式求得，判断出数列的单调性，然后利用数列的极限求得问题的答案。

2.（全国2002年理14分）设数列满足：

，

（1）当时，求并由此猜测的一个通项公式；

（2）当时，证明对所的，有

（）

【答案】解；

（1）由，得，

由，得，

由此猜想的一个通项公式：

（）。

（2）（）用数学归纳法证明：

当时，，不等式成立。

假设当时不等式成立，即，那么

也就是说，当时，。

据和，对于所有，有。

（）由及（），对，有

【考点】数学归纳法，归纳推理。

【分析】

（1）由列满足：

，及，我们易得到，，的值，归纳数列中每一项的值与序号的关系，我们可以归纳推理出的一个通项公式。

（2）（）的证明可以使用数学归纳法，先证明时不等式成立，再假设时不等式成立，证出时，不等式依然成立，最终得到不等式恒成立。

（）的证明用数学归纳法比较复杂，观察到不等式的结构形式，可采用放缩法进行证明。

3.（全国2003年理12分附加题4分）

（I）设是集合且}中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

3

56

91012

⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；

⑵求

（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设是集合，且中所有的数从小到大排列成的数列，已知，求.

【答案】

（Ⅰ）解：

用（）表示，下表的规律为

3（（0,1）=）

5（0,2）6（1,2）

9（0,3）10（1,3）12（2,3）

（i）第四行17（0,4）18（1,4）20（2,4）24（3,4）

第五行33（0,5）34（1,5）36（2,5）40（3,5）48（4,5）

（ii）∵100＝（1+2+3+4+……+13）+9，∴（8,14）＝＝16640。

令，其中，

现在求M的元素个数：

，其元素个数为；

，其元素个数为。

【考点】数列的应用。

（I）（i）用（）表示，先利用前几个数找到其规律，是每一个的横坐标从0增加到对应的行数，而纵坐标为行数，就可求出第四行、第五行各数。

（ii）因为100=（1+2+3+4++13）+9，所以可以知道位于第14行第8列，即可求出。

（Ⅱ）利用上面的结论可以快速找到的规律，再结合组合数对其求解即可。

4.（浙江2004年理14分）如图，ΔOBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数，为线段的中点,令的坐标为（），

（Ⅰ）求及;

（Ⅱ）证明

（Ⅲ）若记证明是等比数列.

（Ⅰ）∵，

又由题意可知

∴为常数列。

（Ⅱ）将等式两边除以2，得。

又∵，∴，。

又∵，

∴是公比为的等比数列。

【考点】数列的应用，等比关系的确定。

（Ⅰ）由题意可知，由此可推导出。

（Ⅱ）将等式两边除以2，得，由此可知。

（Ⅲ）由和，知是公比为的等比数列。

5.（浙江2005年理14分）设点（，0），和抛物线：

y＝x2＋anx＋bn（n∈N*），其中an＝－2－4n－，由以下方法得到：

x1＝1，点P2（x2，2）在抛物线C1：

y＝x2＋a1x＋b1上，点A1（x1，0）到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点在抛物线：

y＝x2＋anx＋bn上，点（，0）到的距离是到上点的最短距离．

（Ⅰ）求x2及C1的方程．

（Ⅱ）证明{}是等差数列．

（Ⅰ）由题意得，

设点是上任意一点，则。

令，则。

由题意得，即。

又在上，∴，解得。

∴的方程为。

（Ⅱ）设点是上任意一点，则。

又，∴，

即。

下面用数学归纳法证明，

①当时，，等式成立；

②假设当时，等式成立，即，

则当时，由知，

又，∴。

即时，等式成立。

由①②知，等式对成立。

故是等差数列。

【考点】导数的应用，等差数列，两点间距离公式的应用，数学归纳法。

（Ⅰ）利用点在抛物线上则满足抛物线方程，结合两点间的距离公式用点表示，然后借助于导数，利用建立方程，使问题得到解决。

（Ⅱ）类比（Ⅰ），首先利用点是上任意一点，得到，然后利用导数思想获得并由此化简得到，通过数学归纳法证明，也即证明了是等差数列。

6.（浙江2007年理15分）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．

（）求，，，；

（）求数列的前项和；

（Ⅲ）记，，

求证：

．

（I）方程的两个根为，，

当时，，所以；

当时，，，所以；

当时，，，所以。

（II）。

（III）证明：

∵，

当时，

同时，

综上，当时，。

【考点】数列的求和，不等式的证明。

（）用解方程或根与系数的关系表示，给赋值即可。

（）由可分组求和。

（Ⅲ）复杂，应用放缩法证明。

7.（浙江2008年理14分）已知数列，，，。

记，

【答案】证明：

（Ⅰ）用数学归纳法证明。

①当=1时，因为是方程2+－1=0的正根，所以＜。

②假设当=（∈N*）时，，

因为，

所以。

即当n=k+1时，也成立。

根据①和②，可知对任何∈N*都成立。

（Ⅱ）由，=1，2，…，－1（≥2）

得，因为，所以。

由及得。

（Ⅲ）由，得，

所以，

于是，

故当≥3时，，

又因为T1＜T2＜T3，所以Tn＜3。

【考点】不等式的证明，数列的求和，用数学归纳法证明不等式。

（Ⅰ）对于∈N*的命题，考虑利用数学归纳法证明。

（Ⅱ）由，对取1，2，…，－1时的式子相加得，最后对进行放缩即可证得。

（Ⅲ）由，得所以。

从而证得≥3时，，又由T1＜T2＜T3，得到结论。

8.（浙江2011年理14分）已知公差不为0的等差数列的首项为（）,设数列的前n项和为，且，，成等比数列

（1）求数列的通项公式及

（2）记，，当时，试比较与的大小.

（Ⅰ）设等差数列的公差为,由得。

当时，，即。

∴当＞0时，；

当＜0时，。

【考点】数列与不等式的综合，数列的求和，等差和等比数列的性质。

（Ⅰ）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得，则数列的通项公式和前n项的和可得。

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的和，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理与，最后分

＞0和＜0两种情况分情况进行比较。

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