三角函数图象和性质总结的很全面不看后悔Word下载.docx
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cosβ+sinα·
sin（α±
β）=sinα·
cosβ±
cosα·
tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·
tanβ）
tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·
tanβ
2、倍角公式：
sin（2α）=2sinα·
cosα=2/（tanα+cotα）
cos（2α）=（cosα）^2-（sinα）^2=2（cosα）^2-1=1-2（sinα）^2
tan（2α）=2tanα/（1-tan^2α）
cot（2α）=（cot^2α-1）/（2cotα）
3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
4、同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：
（2）倒数关系：
sin
csc
=1,cos
sec
=1,tan
cot
=1,
（3）商数关系：
第二部分：
三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：
一角二名三结构
首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！
第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；
第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如
，
等）。
如：
1、已知
，那么
的值是_____///
2、
，且
，求
///
3、已知
为锐角，
，则
与
的函数关系为______///
（2）三角函数名互化（切割化弦），如
1、求值
///1
2、已知
的值///
（3）公式变形使用（
。
如
1、A、B为锐角，且满足
＝_____///
，____三角形///等边
（4）三角函数次数的降升（降幂公式：
与升幂公式：
）。
1、若
，化简
为_____///
递增区间＿＿＿＿＿＿
（5）式子结构的转化（对角、函数名、式子结构化同）。
1、
///
2、求证：
；
3、化简：
（6）常值变换主要指“1”的变换（
如已知
（答：
）
（7）正余弦“三兄妹—
”的内存联系――“知一求二”。
1、若
__
（答：
），特别提醒：
这里
2、若
的值。
，试用
表示
（8）、辅助角公式中辅助角的确定：
（其中
角所在的象限由a,b的符号确定，
角的值由
确定）在求最值、化简时起着重要作用。
（1）若方程
有实数解，则
的取值范围是___________.///[－2,2]
（2）当函数
取得最大值时，
的值是______///
（3）如果
是奇函数，则
=///－2
三角函数的图像性质及解题思路
10课时
1会求三角函数的定义域
2会求三角函数的值域
3会求三角函数的周期：
定义法，公式法，图像法。
的周期是
.
4会判断三角函数奇偶性
5会求三角函数单调区间
6对
函数的要求
（1）五点法作简图
（2）会写
变为
的步骤
（3）会求
的解析式
（4）知道
的简单性质
7知道三角函数图像的对称中心，对称轴
8能解决以三角函数为模型的应用问题
（一）、知识要点梳理
1、正弦函数和余弦函数的图象：
正弦函数
和余弦函数
图象的作图方法：
五点法：
先取横坐标分别为0，
的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
2、正弦函数
、余弦函数
的性质：
（1）定义域：
都是R。
（2）值域：
都是
，对
，当
时，
取最大值1；
当
取最小值－1；
对
取最大值1，当
取最小值－1。
（1）若函数
的最大值为
，最小值为
__，
＿
或
）；
（2）函数
（
）的值域是____///[－1,2]
（3）若
的最大值和最小值分别是___、___///7，－5
（4）函数
的最小值是_____，此时
＝__________
2；
（5）己知
的变化范围///
（6）
的最值///
特别提醒：
在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？
3、正弦、余弦、正切函数的图像和性质
定义域
R
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
上为增函数；
上为减函数（
上为增函数
上为增函数（
4、周期性：
①
的最小正周期都是2
②
和
的最小正周期都是
（1）若
＝___///—1/2
（2）函数
的最小正周期为____///
（3）设函数
，若对任意
都有
成立，则
的最小值为____///2
5、奇偶性与对称性：
（1）正弦函数
是奇函数，对称中心是
，对称轴是直线
（2）余弦函数
是偶函数，对称中心是
（正（余）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于
轴的直线，对称中心为图象与
轴的交点）。
（1）函数
的奇偶性是______、
偶函数）；
（2）已知函数
为常数），且
______
－5）；
（3）函数
的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______
、
（4）已知
为偶函数，求
6、单调性：
上单调递增，在
单调递减；
在
上单调递减，在
上单调递增。
特别提醒，别忘了
！
7、三角形中的有关公式：
（1）内角和定理：
三角形三角和为
，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！
任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形
三内角都是锐角
三内角的余弦值为正值
任两角和都是钝角
任意两边的平方和大于第三边的平方.
（2）正弦定理：
（R为三角形外接圆的半径）.
注意：
①正弦定理的一些变式：
②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
（3）余弦定理：
等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.
（4）面积公式：
为三角形内切圆半径）.如
中，若
，判断
的形状（答：
直角三角形）。
（1）求解三角形中的问题时，一定要注意
这个特殊性：
（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
（1）
中，A、B的对边分别是
，那么满足条件的
A、有一个解B、有两个解C、无解D、不能确定
C）；
（2）在
中，A＞B是
成立的_____条件
充要）；
（3）在
中，
＝_____
（4）在
中，
分别是角A、B、C所对的边，若
＝____
（5）在
中，若其面积
=____
（6）在
，这个三角形的面积为
外接圆的直径是_______
（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，
=，
的最大值为
（8）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是＿＿
（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若
的面积满足关系式
）．
8、反三角函数：
（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：
表示一个角，这个角的正弦值为
且这个角在
内
（2）反正弦
、反余弦
、反正切
的取值范围分别是
.
在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、
到
的角、
的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？
，
．
9、求角的方法：
先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：
一是此三角函数在角的范围内具有单调性；
二是根据条件易求出此三角函数值）。
是方程
的两根，则求
的值______
（2）
＝_______
且
的值
）.
专题辅导三
函数的基本性质及解题思路
1、掌握形如
函数的基本性质。
2、知道解题方法。
1、几个物理量：
A：
振幅；
频率（周期的倒数）；
：
相位；
初相；
2、函数
表达式的确定：
A由最值确定；
由周期确定；
由图象上的特殊点确定，如
的图象如图所示，则
＝_____（答：
3、函数
图象的画法：
①“五点法”――设
，令
＝0，
求出相应的
值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；
②图象变换法：
这是作函数简图常用方法。
4、函数
的图象与
图象间的关系：
①函数
的图象纵坐标不变，横坐标向左（
>
0）或向右（
<
0）平移
个单位得
的图象；
②函数
图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
，得到函数
③函数
图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数
④函数
图象的横坐标不变，纵坐标向上（
）或向下（
），得到
的图象。
要特别注意，若由
得到
的图象，则向左或向右平移应平移
个单位，如
的图象经过怎样的变换才能得到
的图象？
向上平移1个单位得
的图象，再向左平移
的图象，横坐标扩大到原来的2倍得
的图象，最后将纵坐标缩小到原来的
即得
的图象）；
（2）要得到函数
的图象，只需把函数
的图象向___平移____个单位
左；
（3）将函数
图像，按向量
平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？
若唯一，求出
若不唯一，求出模最小的向量
存在但不唯一，模最小的向量
（4）若函数
的图象与直线
有且仅有四个不同的交点，则
的取值范围是
附录一、三种基本变
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