VAR模型与向量VECM模型7Word文档下载推荐.docx
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设为一维随机时间序列，为滞后阶数，为一维随机扰动的时间序列，且有结构关系
（7．1．1）
若引入矩阵符号，记
可写成，（7．1．2）
进一步，若引入滞后算子，则又可表示成
（7.1.3）
其中:
为滞后算子多项式.
如果模型满足的条件:
参数阵
特征方程的根全在单位园外；
，，即相互独立，同服从以为期望向量、为方差协方差阵的维正态分布。
这时，是维白噪声向量序列，由于没有结构性经济含义，也被称为冲击向量；
，即与及各滞后期不相关。
则称上述模型为非限制性VAR模型（高斯VAR模型）,或简化式非限制性VAR模型。
2、受限制性VAR模型，或简化式受限制性VAR模型
如果将做为一维内生的随机时间序列，受维外生的时间序列
影响（限制），则VAR模型为
，（7．1．4）
或利用滞后算子表示成
（7.1.5）
其中：
此时称该模型为受限制性VAR模型，简化式受限制性VAR模型。
对于受限制性VAR模型，可通过对作OLS回归，得到残差估计
，从而将变换成（15.1.2）或（15.1.3）形式的非限制性VAR模型，即
，（7．1．6）
（7.1.7）
这说明受限制性VAR模型可化为非限制性VAR模型。
简化式非限制、受限制VAR模型，皆简记为。
3、结构式非限制性VAR模型
如果中的每一分量受其它分量当期影响,无维外生的时间序列影响（限制）,则模型化为
，（7．1．8）
（7.1.9）
其中：
这时的
此时称该模型为结构式非限制性VAR模型。
如果可逆，既逆阵存在，则结构式非限制性VAR模型可化为简化式非限制性VAR模型
，（7．1．10）
（7.1.11）
这时，其中的
4、结构式受限制性VAR模型
如果将做为一维内生的随机时间序列，其中每一分量受其它分量当期影响,且还受维外生的时间序列影响（限制），则VAR模型为
，（7．1．12）
（7.1.13）
此时称该模型为结构式受限制性VAR模型。
如果可逆，既逆阵存在，则结构式受限制性VAR模型可化为简化式受限制性VAR模型
，（7．1．14）
（7.1.15）
这时，其中的
结构式非限制、受限制VAR模型，皆简记为。
7.1.2简化式VAR模型的参数估计
VAR模型参数估计,简化式VAR模型比较简单可采用Yule-Walker估计、OLS估计、极大似然估计法等进行估计,且可获得具有良好统计性质的估计量。
结构式VAR模型参数估计比较复杂，可有两种途径：
一种是化成简化式，直接估计简化式模型参数，然后再通过简化式模型参数与结构式模型参数的关系，求得结构式模型参数估计，但这存在一个问题是否可行，什么情况下可行，这与结构式模型的识别性有关。
另一种途径是直接对结构式模型参数进行估计，但这也存在一个问题，上述方法不可应用，原因是每一方程含有众多内生的与扰动项相关变量，那么，如何估计？
这也与结构式模型的识别性有关。
对于简化式VAR模型（15.1.1）—（15.1.3），在冲击向量满足假设，，即相互独立，同服从以为期望向量、为方差协方差阵的维正态分布。
这时，是维白噪声向量序列的条件下，模型参数阵及也可采用Yule-Walker估计、OLS估计、极大似然估计。
设,为长度为的样本向量
1、Yule-Walker估计
在充分大时,首先估计自协方差阵
（7.1.16）
令,
则可得模型参数阵的Yule-Walker估计（矩估计）为
（7.1.17）
2、估计
模型参数阵的OLS估计，即求使
下的作为估计。
记（7.1.18）
由此可推得
（7.1.19）
由此可见,模型参数阵的OLS估计（7.1.15）与Yule-Walker估计（7.1.13）形式相同,
但式中的的计算不同.但是,当充分大时,（7.1.16）与（7.1.18）相差很小,这时（7.1.17）与（7.1.19）相差也很小,这时二者的估计及估计量的性质等价。
因此，在充分大时,可直接采用Yule-Walker估计比较简单方便。
而的估计为（7.1.20）
3、极大似然估计
可证明,模型参数阵的极大似然估计与OLS估计完全等价。
除此之外，还有递推估计法（参见：
马树才，《经济时序分析》，辽宁大学出版社，1997.1.pp199）,
这里不在赘述。
7.1.3简化式VAR模型的预测
在已知时，对的一步线性预测
（7.1.21）
其一步预测误差为
一步预测误差的方差阵为的估计为
（7.1.22）
在已知时，如果利用模型参数的估计量，对进行一步线性预测，则
的实际一步线性预测为（7.1.23）
其一步预测误差为
（7.1.24）
7.1.4VAR模型阶数p的确定
VAR模型的定阶是一个矛盾过程，阶数p的确定，既不能太大，又不能太小，必须兼顾。
因为，一方
面，希望滞后阶数p要大一些，以便使模型能更好地反映出动态特征，但另一方面，又不希望太大，否则，阶数p太大，会造成需要估计的模型参数过多，而使模型自由度减少。
因此，在定阶时需要综合考虑，以既要有足够大的滞后项，又能有足够大的自由度为原则确定阶数。
VAR模型的定阶方法有多种：
1、FPE准则（最小最终预测误差准则）
FPE准则（最小最终预测误差准则），即利用一步预测误差方差进行定阶。
因为，如果模型阶数合适，则模型对实际数据拟合优度必然会高，其一步预测误差方差也必然会小；
反之，则相反。
设给定时间序列向量长度为的样本向量为,，则其一步预测误差方差阵的估计量为（7.1.24）式,它是一个阶阵,因此可定义其最终预测误差为
（7.1.25）
显然,是的函数。
所谓最小最终预测误差准则，就是分别取=1，2,…，M,来计算,使值所对应的,为模型合适阶数。
相应的模型参数估计为最佳模型参数估计。
其中，M为预先选定的阶数上界,一般取之间。
在实际计算过程中，可如下判断：
如果的值，随着从1开始逐渐增大就一直上升，则可判定=1；
如果的值，随着从1开始逐渐增大就一直下降，则可判定该随机时间序列不能用AR（p）模型来描述；
如果的值，在某一值下降很快，而后又缓慢下降，则可判定该值为所确定的阶数；
如果的值，随着从1开始逐渐增大而上下剧烈跳动，难以找到最小值，这可能由于样本数据长度T太小造成的，应增大样本长度，重新进行定阶、估计模型参数，建立模型。
利用FPE信息准则还可以用来检验模型的建立是否可由部分分量，比如前个分量，来进行，方法如下：
记（7.1.21）式中的阶矩阵的左上角阶子方阵为,则前个分量，的最终预测误差为
（7.1.26）
当时，（7.1.26）为（7.1.25）式。
如果，，则可认为仅用前个分量，建立模型即可，没有必要采用维随机时间序列建立模型，因为从最小最终预测误差准则角度，用维随机时间序列建立模型比仅采前个分量，建立模型，带来拟合优度的显著改善；
2、AIC（AkaikeInformationCriterion）与SC（BayesInformationCriterion）信息准则
AIC、SC信息准则，也称最小信息准则，定义
，（7.1.27）
为模型需要估计参数个数，对（7.1.1）,；
对于（7.1.4）,；
对于（7.1.8）,；
对于（7.1.12），。
所谓最小信息准则，就是分别取=1，2,…,来计算AIC或者SC,使AIC或SC值所对应的,为模型合适阶数。
3、似然比检验法（LikelihoodRatio,LR检验）：
由于，，即相互独立，同服从以为期望向量、为方差协方差阵的维正态分布。
因此，
记，则在给的条件下，的条件分布为
于是，在给的条件下，的联合分布密度，即似然函数为
对数似然函数为
将参数估计代入，则有
，又
因此，有（7.1.28）
现在，欲检验假设样本数据是由滞后阶数为的VAR模型生成；
样本数据是由滞后阶数为的VAR模型生成
取似然比统计量为
分布（7.1.29）
在给定的显著性水平下，当，则拒绝，表明增加滞后阶数，可显著增大似然函数值；
否则，则相反。
检验在小样本下，可取似然比统计量为
分布（7.1.30）
其中,.
7.1.5VAR模型的Granger因果关系检验
VAR模型的另一重要应用是可用来检验一个变量与另一变量间是否存在Granger因果关系，这也是建立VAR模型所需要的。
1、Granger因果关系的涵义
设为一维随机时间序列，如果在给定的滞后值下的条件分布与仅在给定的的滞后值下的条件分布相同，即
则称对存在Granger非因果性关系，否则，对存在Granger因果性关系。
Granger因果性关系涵义的另一表述：
在其条件不变下，如果加上的滞后值，并不对只由的滞后值下对进行预测有显著改善，则称对存在Granger非因果性关系，否则，对存在Granger因果性关系。
2、Granger因果关系检验
设为一维随机时间序列，为滞后阶数，为一维随机扰动的时间序列，则有2元VAR模型为
（7．1．31）
显然，欲检验对是否存在Granger非因果性关系，等价地，
检验假设；
中至少有一个不为0。
其用于检验的统计量为
（7．1．32）
其中，为模型（7.1.31）中第1方程残差平方和,为模型（7.1.31）中第1方程去掉各期滞后项后拟合残差平方和。
在给定的显著性水平下，当时，拒绝。
如果模型（7．1．31）满足，，即相互独立，同
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