曲线拟合的线性最小二乘法及其MATLAB程序Word文档格式.docx
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6.50
68.04
解
（1）在MATLABI作窗口输入程序
»
x=[-2.5-1.7-1.1-0.800.11.52.73.6];
y=[-192.9-85.50-36.15-26.52-9.10-8.43-13.126.50
68.04];
plot（xzy,^*1）,
legend（'
实验数据（xi,yi）'
）
xlabeK^1）,ylabeK^1）,
title（■例7•2・1的数据点（xifyi）的散点图1）
运行后屏幕显示数据的散点图（略）・
（3）编写下列MATLAB程序计算/（x）在（a;
y.）处的函数值，即输入程序
symsala2a3a4
x=[-2.5-1.7-1.1-0.800.11.52.73.6];
fi=al.★x.A3+a2・*x・A2+a3・*x4-a4
运行后屏幕显示关于gg心和如的线性方程组
fi=[-125/8*al+25/4*a2-5/2*a3+a4,
-4913/1000*al+289/100*a2-17/10*a3+a4z-1331/1000*al+121/100*a2-ll/10*a3+a4,-64/125*al+16/25*a2-4/5*a3+a4,
a4,l/1000*al+l/100*a2+l/10*a3+a4,
27/8*al+9/4*a2+3/2*a3+a4,19683/1000*al+729/100*a2+27/10*a3+a4,5832/125*al+324/25*a2+18/5*a3+a4]
编写构造误差平方和的MATLAB程序
y=[-192.9-85.50-36.15-26.52-9.10-8.43-13.126.50
fi=[-125/8*al+25/4*a2-5/2*a3+a4,
-4913/1000*al+289/100*a2-17/10*a3+a4r
-1331/1000*al+121/100*a2-ll/10*a3+a4<
-64/125*al+16/25*a2-4/5*a3+a4za4,
!
/1000*al+l/100*a2+l/10*a3+a4z
27/8*al+9/4*a2+3/2*a3+a4z
19683/1000*al+729/100*a2+27/10*a3+a4<
5832/125*al+324/25*a2+18/5*a3+a4];
fy=fi-y;
fy2=fy・A2;
J=sum（fy・八2）
运行后屏幕显示误差平方和如下
J=
（-125/8*al+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10）A2+<
-4913/1000*al+289/100*a2-17/10*a3+a4+171/2）A2+（-1331/1000*al+121/100*a2-ll/10*a3+a4+723/20）A2+（-64/125*al+16/25*a2-4/5*a3+a4+663/25）A2+（a4+91/10）A2+（l/1000*al+l/100*a2+l/10*a3+a4+843/100）A2+（27/8*al+9/4*a2+3/2*a3+a4+328/25）A2+（19683/1000*al+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/2）A2+（5832/125*al+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25）A2
为求⑷"
4“使丿达到最小.只需利用极值的必要条件—=0伙=123,4）,
得到关于⑷心心心的线性方程组，这可以由下而的MATLAB程序完成，即输入程序
J=（-125/8*al+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10）A2+<
-4913/1000*al+289/100*a2-17/10*a3+a4•・・+171/2）A2+（-1331/1000*al+121/100*a2-ll/10*a3+a4+723/20）A2+（-64/125*al+16/25*a2-4/5*a3+a4+663/25）A2+（a4+91/10）A2+（!
/1000*al+l/100*a2+l/10*a3+a4+843/100）A2+（27/8*al+9/4*a2+3/2*a3+a4+328/25）A2+（19683/1000*al+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/2）A2+（5832/125*al+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25）A2;
Jal=diff（Jzal）;
Ja2=diff（J,a2）;
Ja3=diff（Jza3）;
Ja4=diff（Jza4）;
Jall=simple（Jal）,Ja21=simple（Ja2）zJa31=simple（Ja3）/Ja41=simple（Ja4）/运行后屏幕显示J分别对5,“2，心X/4的偏导数如下
Jall=
56918107/10000*al+32097579/25000*a2+1377283/2500*a3+23667/25074-8442429/625
Ja21=
32097579/25000*al+1377283/2500*a2+23667/250*a3+67*a4+767319/625
Ja31=
1377283/2500*al+23667/250*a2+67*a3+18/5*a4-232638/125
Ja41=
23667/250*al+67*a2+18/5*a3+18*a4+14859/25
解线性方程组Jcl\\=0»
Jci2\=0>
Jd3\=0f肋41=0,输入卜列程序
A=[56918107/10000a32097579/25000,1377283/2500,
23667/250;
32097579/25000,1377283/2500,23667/250,67;
1377283/2500,23667/250,67,18/5;
23667/250,67,18/5,18];
B=[8442429/625,-767319/625,232638/125,-14859/25];
C=B/A,f=poly2sym（C）
运行后屏幕显示拟合函数/及其系数C如下
C=5.0911-14.19056.4102-8.2574
f=7165/1428*xA3
-7988544102557579/562949953421312*xA2
+77693/2856"
-4648521160813215/562949953421312
故所求的拟合曲线为
/（%）=5.0911%3-14.1905x2+6.4102x-8.2574.
（4）编写下面的MATLAB程序估计其误差，并作岀拟合曲线和数据的图形•输入程序
xi=[-2.5-1.7-1.1-0.800.11.52.73.6]；
y=[-192.9-85.50-36.15-26.52-9.10-8.43-13.126.5068.04]；
n=length（xi）;
f=5.0911.*xi.A3-14.1905.*xi.A2+6.4102.*xi-8.2574；
X=-2.5：
0.01：
3.6；
F=5.0911/X.A3-14.1905/X.A2+6.4102/X-8.2574；
fy=abs（f-y）;
fy2=fy.A2;
Ew=max（fy）,
E1=sum（fy）/n,E2=sqrt（（sum（fy2））/n）
plot（xi,yy'
j,holdon,plot（x,F；
bJ）,holdofflegendf数据点（xi,yi儿拟合曲线y=f（x）t）,xlabelfx*）,ylabel（y）,
titled例721的数据点（xi,yi）和拟合曲线y=f（x）的图形•）
运行后屏幕显示数据（兀，儿）与拟合函数/的最大误差圧，平均误差Z和均方根误差E：
及其数据点（曲，儿）和拟合曲线的图形（略）.
Ew=El=E2=
OS/TTcT-（q*S/8T）dxe4E）+SV（00T/L8^T-（q*0T/Lc）dxe¥
p）+3V（001/699-（q*c/€）^e*e）+cv（00T/L8TT-（q*0l/T3）dxe¥
e）+3V（00T/L83T-（q*S/S）dxe*^）+3v（00T/L^€T-（q*9/£
T）dxe*p）+cv（00T/L£
cS-（q*S/LT）d^^*^）+3v（S3/8^9-（q*S/8T）+sv（08/E80E-心¥
乙/6）dx.E）+"
（00I/LT6S-（q*0I/
Tg）dxe^E）+"
（S/8S8-（q*S/惩）dx»
E）+“（00T/Z-C86T-（qMl/U）dx*E）+Sv（00T/I83S-（qMT：
/厶8）dxje）+"
（0$/£
96丸一（q^/空）dxjE）=i?
qesuiAs<
<
岀哉Y酚胎’舉事岀葩红\n丄V驸切蚩山甲方也宴
v（0S/IIcl-（q*S/8T）d^e*^）+3v（00I/L8^T-（q*0l/Lc）dxe^e）+sv（001/699-（4早乙/£
）&
*&
¥
引+"
（00T/L8TT-（q“l/M）dx*E）+“（00I/L83T-（q*c/S）dxe¥
P）+Sv（OOT/L^£
T-（q*9/ST）dxe*p）+cv（00T/L8cS-（q*S/£
T）dxe¥
e）+sv（Sc/8^9-（q早S/8l）dx6¥
E）+"
（0S/£
80Z-（q¥
"
6）dx»
E）+“（00T/LT6S-（q*0T/ls）dxe*E）+3v（g/Q38-（q*S/7£
）d^e*^）+Sv（00T/Lc86T-（q$0l/"
）dx*E）+Cv（OOT/T8S9-（qjl/ig）dxgw）+3V（0S/€96c3-（q*S/LT）dxe^e）
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f[丸・皿V讥'
69・9yL8eTTV8•乙
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