初中数学专题复习直角三角形的边角关系Word文件下载.docx
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5
解直角三角形的及其应用
2~5%
(二)中考热点:
新课标对解直角三角形的要求略有减弱,从2004、2005年各课改实验区的中考命题来看,运用解直角三角形的知识解决与生活、生产相关联的应用题是中考的热点.
三、中考命题趋势及复习对策
解直角三角形在实际生活中的应用题,是中考的重点内容,其次是特殊角的三角函数值,锐角三角函数包含三部分内容,一是解直角三角形及特殊锐角函数值的考查,以填空,选择题的形式出现;
二是解决实际问题,以解答题的形式出现;
三是渗透在中高档解答证明题中,一般占10分左右.在复习时,要正确了解三角函数概念把握其本质,才能正确理解解直角三角形中边角之间关系,才能利用这些关系解题,另外还要注意数形结合,解题时通过画图来找出函数关系,帮助解题.
(Ⅰ)考点突破
考点1:
锐角三角函数的概念
一、考点讲解:
1.锐角三角函数的概念:
锐角三角函数包括正弦函数,余弦函数,和正切函数,如图1-1-1,在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b,c.
∠A的正弦=;
∠A的余弦=,
∠A的正切=
注:
三角函数值是一个比值.
二、经典考题剖析:
1.(2004、南山,4分)计算:
(结果保留根号)
解:
原式==.
2.(2004、潍坊).
3.(2004、北碚,5分)计算:
.
解:
原式=.
三、针对性训练:
(45分钟)
1.已知cosα<0.5,那么锐角α的取值范围是()
A.60°
<a<90°
;
B.0°
<a<60°
C.30°
D.0°
<a<30°
2.2sin60°
-cos30°
·
tan45°
的结果为()
A、D.0
3.等腰直角三角形一个锐角的余弦为()
A、D.l
4.在Rt△ABC中,a、b,c分别为∠A、∠B、∠C的对边,∠C=90°
,则a3cosA+b3cosB等于()
A.abcB.(a+b)c3C.c3D
5.点M(tan60°
,-cos60°
)关于x轴的对称点M′的坐标是()
A.B.C.D.
6.在△ABC中,∠C=90°
,a、b,c分别为∠A、∠B、∠C的对边,且c2-4ac+4a2=0,则sinA+cosA的值为()
7.在△ABC中,∠A为锐角,已知cos(90°
-A)=,sin(90°
-B)=,则△ABC一定是()
A.锐角三角形;
B.直角三角形;
C.钝角三角形;
D.等腰三角形
8.sin35°
cos55°
十cos35°
sin55°
=_______;
9.在锐角△ABC中,如果2sinC=sin90°
,则∠C=______;
10已知0°
<a<45°
,化简:
11在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A=60°
,斜边上的高是,则a=____,b=______,c=______.
12已知:
如图l-1-2,在△ABC中,BC=8,∠B=60°
,∠C=45°
,求BC边上的高AD.
13如图1-l-3,在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A=45°
,点D在AC上,∠BDC=60°
,AD=l,求BD、DC的长.
14如图1-1-4所示,四边形ABCD中,BC=CD=BD,∠ADB=90°
,cos∠ABD=,求SΔABD:
SΔBCD.
15计算:
16如图1-1-5,在平面直角坐标系中,已知A(3,0)点B(0,-4),则cos∠OAB等于__________.
17如图1-l-6,在四边形ABCD中.∠B=∠D=90°
,AB=4,AD=5,求的值。
考点2:
特殊角三角函数值的计算
1.特殊角是指0°
,30°
,45°
,60°
,90°
的角.
2.特殊角的三角函数值.
1.(2004、郸县)计算;
原式=2—2+2=2.
点拨:
特殊角的三角函数值要记熟.
2.(2004、桂林,5分)计算:
解:
原式=.
除0外,任何数的零次幂都等于1
3.(2004、呼和浩特,7分)计算:
0.125×
(-)-3+的值。
原式=
4.(2004、湟中,5分)计算:
原式=3+(-2)+1-3=1.
5.(2004、哈尔滨)先化简,再求其值:
其中x=tan45-cos30°
原式=
当x=tan45-cos30°
时,原式=.
化简求值时,一定要写当……时.
1、;
2、;
3.4.;
5.;
6.;
7.;
8.;
9.;
10.;
11.;
12.;
13.;
14.;
15..
考点3:
运用三角函数的关系化简或求值
1.互为余角的三角函数关系.
sin(900-A)=cosA,cos(900-A)=sinA,
tan(900-A)=cotA,cot(900-A)=tanA.
2.同角的三角函数关系.
①平方关系:
sin2A+cos2A=l;
②倒数关系:
tanA×
cotA=1;
③商数关系:
④;
⑤.
1.(2004、山西,2分)计算:
sin2480+sin2420-tan440×
tan450×
tan460
原式=cos2420+sin2420-cot460×
tan460×
1=l-1=0.
cos480-cos(900-420)=sin420,tan44°
=cot46°
2.(2004、昆明,3分)在△ABC中,已知∠C=90°
,sinB=0.6,则cosA的值是()
D点拨:
因为△ABC中,∠C=90°
,所以∠A+∠B=90°
.SinB=cosA=.
3.(2004、潍坊模拟,5分)已知,α为锐角,且tanα=,化简并求的值。
=然后化简再代入即可得原式=.
(45分钟)
1.下列等式中正确的是()
A.sin200+sin400=sin600B.cos200+cos400=cos60,
C.sin(900-40○)=cos400D.cos(900-300)=sin600
2.等于()
A.sin480+cos480B.2sin224°
C.1D.2(sin24o+cos24o)
3.已知sin750=,则cos15°
等于()
4、α是锐角,且m,则()
A.(m2+l);
B.(m-l);
C.(m+l);
D.(m2-1)
5.已知α为锐角,且tanα×
tan200=1,则锐角α为()
A.200B.500C.700D.1600
6.△ABC中,∠C=90°
,cosA=,则tanB为()
A.B.C.D.
7.cos2550+cos2350=_______;
8.cos2α+sin2420=1,则锐角α=______.
9、已知α为锐角,且sinα-cosα=,则sinα·
cosα=___________;
10计算:
⑴已知sinα·
cosα=,求sinα+cosα.
11化简:
;
(2).
12.已知的值.
考点4:
(一)同名三角函数的大小比较
1.正弦、正切是增函数.
正弦和正切是增函数,三角函数值随角的增大而增大,随角的减小而减小.
2.余弦、余切是减函数.”
余弦、余切是减函数,三角函数值随角的增大而减小,随角的减小而增大。
(二)异名三角函数的大小比较
1.tanA>SinA,由定义,知tanA=,sinA=.
因为b<c,所以tanA>sinA.
2.cotA>cosA.由定义,知cosA=,cotA=因为a<c,所以cotA>cosA.
3.若0○<A<45○,则cosA>sinA,cotA>tanA;
若45○<A<90○,则cosA<sinA,cotA<tanA;
1.(2004、临沂模拟,3分)比较大小:
(1)sin410_____sin400;
(2)sin420____cos550.
(1)>
(2)>
点拨:
正弦函数值随角的增大而增大.
2.(2004、安丘模拟,3分)∠A为锐角,且sinA=,则∠A所在的范围是()
A.00<∠A<300B.300<∠A<450C.450<∠A<600D.600<∠A<900
A点拨:
sin30○==>=,正弦函数值随角的增大而增大,所以∠A=300.
故选A.
3.(2004、潜江,3分)当45○<θ<90○
时,下列各式中正确的是()
A.tanθ>cosθ>sinθB.sinθ>cosθ>tanθ
C.tanθ>sinθ>cosθD.cotθ>sinθ>cosθ
C点拨:
可以用符合条件的特殊角的三角函数值验证,如θ=60°
,也可根据增减性判断.
(45分钟)
1.已知α为锐角,下列结论:
①sinα+cosα=1;
②如果α>45°
,那么sinα>cosα;
③如果cosα>那么a<60°
;
④=l-sina.正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.已知∠A为锐角,且cosA≤,那么()
A.0°
<∠A≤60°
B.60°
≤∠A<90°
C.0°
<∠A≤30°
D.30°
3.已知cotA=,则锐角A的取值范围是()
A.0○<∠A<300;
B.45○<∠A<600;
C.300<∠A<450;
D.600<∠A<900
4.如果∠A是锐角,且cosA=,那么∠A的范围是()
A.0○<∠A≤300;
B.30○<∠A<450;
C.45○<∠A<600;
D.60○<∠A<900
5.下列不等式中正确的是()
A.cos42○>cos400B.cos200>cos70○C.sin700>sin20○D.sin42○>sin40○
6.若0<cosα≤,则锐角α的取值范围是()
A.0<α<30○B、α≥30○C.30○≤α≤60○D.30○≤α≤90○
7.在下列不等式中,错误的是()
A.sin45○>sin30○B.cos60○<oos30○
C.tan45○>tan30○D.cot30○<cot60○
8.∠A为锐角,tanA<时,∠A()
A.小于30○B.大于30○C.小于60○D大于60○
9.以下各式中,小于0的是()
A.tan42○-tan41○B.cot41○-cot42○
C.tan42○-cot41○D.cot41○-tan42○
10如果sina>sin30°
,则锐角α的取值范围是_____.
11比较大小(在空格处填写“<