小学奥数工程问题综合Word下载.doc
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工程问题方法总结
一:
基本数量关系:
工效×
时间=工作总量
二:
基本特点:
设工作总量为“1”,工效=1/时间
三:
基本方法:
算术方法、比例方法、方程方法。
四:
基本思想:
分做合想、合做分想。
五:
类型与方法:
一:
分做合想:
1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。
等量代换:
方程组的解法→代入法,加减法。
按劳分配思路:
每人每天工效→每人工作量→按比例分配
休息请假:
方法:
1.分想:
划分工作量。
2.假设法:
假设不休息。
休息与周期:
1.已知条件的顺序:
①先工效,再周期,②先周期,再天数。
2..天数:
①近似天数,②准确天数。
3.列表确定工作天数。
六:
交替与周期:
估算周期,注意顺序!
七:
注水与周期:
1.顺序,2.池中原来是否有水,3.注满或溢出。
八:
工效变化。
九:
比例:
1.分比与连比,2.归一思想,3.正反比例的运用,4.假设法思想(周期)。
十:
牛吃草问题:
1.新生草量,2.原有草量,3.解决问题。
工程问题
.当知道了两者工作效率之比,从比例角度考虑问题,也
需时间是
因此,在下面例题的讲述中,不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法,而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”,也许会使我们的解题思路更灵活一些.
两个人的问题
标题上说的“两个人”,也可以是两个组、两个队等等的两个集体.
●例1一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成。
现在甲先做了3天,余下的工作由乙继续完成,乙需要做几天可以完成全部工作?
解一:
把这件工作看作1,甲每天可完成这件工作的九分之一,做3天完成的1/3。
乙每天可完成这件工作的六分之一,(1-1/3)÷
1/6=4(天)
乙需要做4天可完成全部工作.
解二:
9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份,乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是
(18-2×
3)÷
3=4(天).
解三:
甲与乙的工作效率之比是
6∶9=2∶3.
甲做了3天,相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4(天).
●例2一件工作,甲、乙两人合作30天可以完成,共同做了6天后,甲离开了,由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天?
解:
共做了6天后,
原来,甲做24天,乙做24天,
现在,甲做0天,乙做40=(24+16)天.
这说明原来甲24天做的工作,可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率
如果乙独做,所需时间是50天
如果甲独做,所需时间是75天
甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.
●例3某工程先由甲独做63天,再由乙单独做28天即可完成;
如果由甲、乙两人合作,需48天完成.现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么乙还需要做多少天?
解:
先对比如下:
甲做63天,乙做28天;
甲做48天,乙做48天.
就知道甲少做63-48=15(天),乙要多做48-28=20(天),由此得出甲的
甲先单独做42天,比63天少做了63-42=21(天),相当于乙要做
因此,乙还要做
28+28=56(天).
乙还需要做56天.
●例4一件工程,甲队单独做10天完成,乙队单独做30天完成.现在两队合作,其间甲队休息了2天,乙队休息了8天(不存在两队同一天休息).问开始到完工共用了多少天时间?
解一:
甲队单独做8天,乙队单独做2天,共完成工作量
余下的工作量是两队共同合作的,需要的天数是
2+8+1=11(天).
从开始到完工共用了11天.
设全部工作量为30份.甲每天完成3份,乙每天完成1份.在甲队单独做8天,乙队单独做2天之后,还需两队合作
(30-3×
8-1×
2)÷
(3+1)=1(天).
甲队做1天相当于乙队做3天.
在甲队单独做8天后,还余下(甲队)10-8=2(天)工作量.相当于乙队要做2×
3=6(天).乙队单独做2天后,还余下(乙队)6-2=4(天)工作量.
4=3+1,
其中3天可由甲队1天完成,因此两队只需再合作1天.
解四:
分休合想(题中说甲乙两队没有在一起休息,我们就假设他们在一起休息.) 甲队每天工作量为1/10,乙为1/30,因为甲休息了2天,而乙休息了8天,因为8>
2,所以我们假设甲休息两天时,乙也在休息。
那么甲开始工作时,乙还要休息:
8-2=6(天)那么这6天内甲独自完成了这项工程的1/10×
6=6/10,剩下的工作量为1-6/10=4/10,而这剩下的4/10为甲乙两人一起合作完成的工程量,所以,工程量的4/10需要甲乙合作:
(4/10)÷
(1/10+1/30)=3天。
所以从开始到完工共需:
8+3=11(天)
●例5一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做,其间甲队休息了3天,乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天?
如果16天两队都不休息,可以完成的工作量是(1÷
20)×
16+(1÷
30)×
16=4/3
由于两队休息期间未做的工作量是4/3-1=1/3
乙队休息期间未做的工作量是
1/3-1/20×
3=11/60
乙队休息的天数是11/60÷
(1/30)=11/2
乙队休息了5天半.
设全部工作量为60份.甲每天完成3份,乙每天完成2份.
两队休息期间未做的工作量是
(3+2)×
16-60=20(份).
因此乙休息天数是
(20-3×
2=5.5(天).
甲队做2天,相当于乙队做3天.
甲队休息3天,相当于乙队休息4.5天.
如果甲队16天都不休息,只余下甲队4天工作量,相当于乙队6天工作量,乙休息天数是 16-6-4.5=5.5(天).
●例6有甲、乙两项工作,张单独完成甲工作要10天,单独完成乙工作要15天;
李单独完成甲工作要8天,单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作,那么这两项工作都完成最少需要多少天?
很明显,李做甲工作的工作效率高,张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲,张先做乙.
设乙的工作量为60份(15与20的最小公倍数),张每天完成4份,李每天完成3份.
8天,李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作(60-4×
8)份.由张、李合作需要 (60-4×
8)÷
(4+3)=4(天).
8+4=12(天).
这两项工作都完成最少需要12天.
●例7一项工程,甲独做需10天,乙独做需15天,如果两人合作,他
要8天完成这项工程,两人合作天数尽可能少,那么两人要合作多少天?
设这项工程的工作量为30份,甲每天完成3份,乙每天完成2份.
两人合作,共完成
3×
0.8+2×
0.9=4.2(份).
因为两人合作天数要尽可能少,独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成,所以两人合作的天数是
(30-3×
(4.2-3)=5(天).
很明显,最后转化成“鸡兔同笼”型问题.
●例8甲、乙合作一件工作,由于配合得好,甲的工作效率比单独做时快
如果这件工作始终由甲一人单独来做,需要多少小时?
乙6小时单独工作完成的工作量是
乙每小时完成的工作量是
两人合作6小时,甲完成的工作量是
甲单独做时每小时完成的工作量
甲单独做这件工作需要的时间是
甲单独完成这件工作需要33小时.
这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是,“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化,当求出乙每
有一点方便,但好处不大.不必多此一举.
多人的工程问题
我们说的多人,至少有3个人,当然多人问题要比2人问题复杂一些,但是解题的基本思路还是差不多.
●例9一件工作,甲、乙两人合作36天完成,乙、丙两人合作45天完成,甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成?
设这件工作的工作量是1.
甲、乙、丙三人合作每天完成
减去乙、丙两人每天完成的工作量,甲每天完成
甲一人独做需要90天完成.
例9也可以整数化,设全部工作量为180份,甲、乙合作每天完成5份,乙、丙合作每天完成4份,甲、丙合作每天完成3份.请试一试,计算是否会方便些?
●例10一件工作,甲独做要12天,乙独做要18天,丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天,然后由乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的3倍,再由丙接着做,丙做的天数是乙做的天数的2倍,终于做完了这件工作.问总共用了多少天?
甲做1天,乙就做3天,丙就做3×
2=6(天).
说明甲做了2天,乙做了2×
3=6(天),丙做2×
6=12(天),三人一共做了
2+6+12=20(天).
完成这项工作用了20天.
本题整数化会带来计算上的方便.12,18,24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6,乙每天完成4,丙每天完成3.总共用了
●例11一项工程,甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天,乙就要多做4天,或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天?
丙2天的工作量,相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷
2=2(倍),甲、乙合作1天,与乙做4天一样.也就是甲做1天,相当于乙做3天,甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.
他们共同做13天的工作量,由甲单独完成,甲需要
甲独做需要26天.
事实上,当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1,就知甲做1天,相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天,其中乙、丙两人完成的工作量,可转化为甲再做13天来完成. ●例12某项工作,甲