版浙江学业水平考试数学知识清单与冲A训练18Word文档下载推荐.docx

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2．数列的递推公式

如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an－1（或前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

知识点三　Sn与an的关系

已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝

知识点四　等差数列的定义

一般地，如果一个数列________________________________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母________表示．

知识点五　等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是________________．

知识点六　等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项．

知识点七　等差数列的常用性质

（1）通项公式的推广：

an＝am＋________，（n，m∈N*）．

（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，（k，l，m，n∈N*），则________________．

（3）若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为________．

（4）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

（5）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为________的等差数列．

知识点八　等差数列的前n项和公式

设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝________________或Sn＝________________.

知识点九　等差数列的前n项和公式与函数的关系

Sn＝n2＋n.

数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn，（A、B为常数）．

知识点十　等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中，a1>

0，d<

0，则Sn存在最________值；

若a1<

0，d>

0，则Sn存在最________值．

例1　（2016年4月学考）已知数列{an}（n∈N*）满足an＋1＝设Sn是数列{an}的前n项和，若S5＝－20，则a1的值为（　　）

A．2B．0C．1D．－2

例2　（2015年10月学考）已知{an}（n∈N*）是以1为首项，2为公差的等差数列，设Sn是{an}的前n项和，且Sn＝25，则n等于（　　）

A．3B．4C．5D．6

例3　（2016年10月学考）设等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），若a4＝8，S4＝20，则a3等于（　　）

A．2B．4C．6D．8

例4　已知{an}为等差数列，前10项的和为S10＝100，前100项的和S100＝10，则前110项的和S110为________．

例5　（2015年10月学考）在数列{an}（n∈N*）中，设a1＝a2＝1，a3＝2，若数列{}是等差数列，则a6＝________.

例6　已知等差数列{an}满足：

a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.

（1）求an及Sn；

（2）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn.

例7　已知数列{an}的首项为a1＝3，通项an与前n项和Sn之间满足2an＝Sn·

Sn－1（n≥2）．

（1）求证：

{}是等差数列，并求公差；

（2）求数列{an}的通项公式．

例8　已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，求an.

例9　在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．

一、选择题

1．设数列，，2，，…，则2是这个数列的（　　）

A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项

2．在数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·

a2·

a3·

…·

an＝n2给出，则a3＋a5等于（　　）

A.B.C.D.

3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于（　　）

A．－1B．1C．3D．7

4．在数列{an}中，已知a61＝2000，且an＋1＝an＋n，则a1等于（　　）

A．168B．169C．170D．171

5．在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8等于（　　）

A．45B．75C．180D．360

6．已知数列{an}是通项an和公差都不为零的等差数列，设Sn＝＋＋…＋，则Sn等于（　　）

7．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19等于（　　）

A．55B．95C．100D．190

8．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和100，则它的前3m项和为（　　）

A．130B．170C．210D．300

二、填空题

9．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1.若{}为等差数列，则a11为________．

10．对于两个等差数列{an}和{bn}，有a1＋b100＝100，b1＋a100＝100，则数列{an＋bn}的前100项之和S100为________．

11．若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0（m，n∈R且m≠n）的四个根组成首项为的等差数列，则m＋n的值为________．

12．设数列的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|为________．

13．已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0，当n＝______时，前n项和取得最大值．

答案精析

知识条目排查

知识点一

1．一定顺序　项

2．有限　无限　>

　<

知识点二

列表法　图象法　解析法

1．序号n

知识点三

S1　Sn－Sn－1

知识点四

从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数　公差　d

知识点五

an＝a1＋（n－1）d

知识点七

（1）（n－m）d　

（2）ak＋al＝am＋an

（3）2d　（5）md

知识点八

　na1＋d

知识点十

大　小

题型分类示例

例1　D　由题意知，a2＝2a1，a3＝a2＋1＝2a1＋1，

a4＝2a3＝2（2a1＋1）＝4a1＋2，

a5＝a4＋1＝4a1＋3，

∴S5＝a1＋2a1＋（2a1＋1）＋（4a1＋2）＋（4a1＋3）

＝13a1＋6＝－20，

∴a1＝－2.]

例2　C　由等差数列的前n项和公式得

Sn＝na1＋d＝n＋×

2＝n2＝25，

解得n＝5，故选C.]

例3　C

例4　－110

解析　方法一　设{an}的首项为a1，公差为d，

解得a1＝10.99，d＝－0.22.

故S110＝110a1＋×

110×

109d＝－110.

方法二　设{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn，

则

解得A＝－，B＝.

所以S110＝12100A＋110B

＝110（110A＋B）＝－110.

方法三　因S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100

＝＝－90，

∴a1＋a110＝a11＋a100＝－2.

所以S110＝

＝＝－110.

方法四　数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，

设其公差为D，前10项和10S10＋·

D＝S100＝10⇒D＝－22，

∴S110－S100＝S10＋（11－1）D

＝100＋10×

（－22）＝－120.

∴S110＝－120＋S100＝－110.

例5　120

解析　由题意得＝1，＝2，

所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，

所以＝n，

所以a6＝5a5＝5×

4a4

＝5×

4×

3a3＝120.

例6　解　设等差数列{an}的公差为d，

因为a3＝7，a5＋a7＝26，

所以有

解得a1＝3，d＝2.

所以an＝3＋2（n－1）＝2n＋1，

Sn＝3n＋×

2＝n2＋2n.

（2）由

（1）知，an＝2n＋1，

所以bn＝＝

＝·

＝（－）．

所以Tn＝（1－＋－＋…＋－）

＝（1－）＝.

即数列{bn}的前n项和Tn＝.

例7　

（1）证明　由2an＝2（Sn－Sn－1）＝Sn·

Sn－1（n≥2），

得－＝－（n≥2）．

∴{}是等差数列，且公差为－.

（2）解　由＝＋（n－1）（－），

得Sn＝.

当n＝1时，a1＝3；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝.

∴an＝

例8　解　∵a2－a1＝2，a3－a2＝4，a4－a3＝6，…，

an－an－1＝2（n－1）（n≥2），

∴各式相加，得an－a1＝＝n（n－1）（n≥2）．

∵a1＝0也满足an＝n（n－1），

∴an＝n（n－1）．

例9　解　方法一　∵S9＝S17，a1＝25，

∴9×

25＋d＝17×

25＋d，

解得d＝－2.

∴Sn＝25n＋×

（－2）＝－n2＋26n

＝－（n－13）2＋169.

∴当n＝13时，Sn有最大值169.

方法二　同方法一，求出公差d＝－2.

∴an＝25＋（n－1）×

（－2）＝－2n＋27.

∵a1＝25>

0，

由

得

又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169.

方法三　∵S9＝S17，

∴a10＋a11＋…＋a17＝0.

由等差数列的性质得a13＋a14＝0.

∵a1>

0，∴d<

0.∴a13>

0，a14<

0.

方法四　设Sn＝An2＋Bn.

∵S9＝S17，

∴二次函数对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，

∴当n＝13时，Sn取得最大值169.

考点专项训练

1．B　数列可变为，，，，…，

故通项公式an＝，令2＝，得n＝7.]

2．C　a1·

a2＝4，∴a2＝4，

a1·

a3＝32，∴a3＝，

a4·

a5＝52，

∴42·

∴a5＝，

∴a3＋a5＝＋＝.]

3．B　由条件得

即

解得d＝－2，a1＝39，

∴a20＝39＋19×

（－2）＝1.]

4．C　∵an＋1－an＝n，∴a2－a1＝1，

a3－a2＝2，…，a61－a60＝60，

∴a61－a1＝1＋2＋…＋60，

∴a1＝170.]

5．C　a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450⇒5a5＝450⇒a5＝90，

∵a2＋a8＝2a5，

∴a2＋a8＝180.]

6．A　∵{an}是等差数列，公差d≠0，

∴＝（－）．

∴Sn＝（－＋－＋…＋－）

＝（－）

＝.]

7．B

8．C　方法一　设等差数列{an}的公差为d，

②－①得ma1＋d＝70，

∴S3m＝3ma1＋d

＝3（ma1＋）d

＝3×

70＝210.

方法二　∵数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列