注册电气工程师公共基础高数大纲设计Word格式.docx

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或

3．向量的坐标表达式

将向量的始点移到空间直角坐标系的原点O。

设向量的终点为M（x，y，z），且Ox轴、Oy、Oz轴正方向上的单位向量依次为i，j，k，则,或记为。

称上述两种表达式为向量的坐标表达式。

例1.1已知两点A（1，-1，2）和B（3，1，1），qi求

1.1.2平面

1、平面的方程

（1）平面的点法式方程：

垂直于平面的非零向量=（A，B，C）为平面的法向量。

过点（x0，y0，z0）以为法方向的平面方程为：

A（x－x0）+B（y－y0）+C（z－z0）=0。

（2）平面的一般式方程：

Ax+By+Cz+D=0，法方向：

=（A，B，C）。

（3）平面的截距式方程：

，其中a,b,c分别为平面的x截距，y截距，z截距。

2、特殊的平面方程

Ax+By+Cz=0表示过原点的平面方程。

Ax+By+D=0表示平行于Oz轴的平面方程。

Ax+B=0表示过Oz轴的平面方程。

Cz+D=0表示平行于坐标平面Oxy的平面方程。

其余可以此类推。

3、两平面的关系

平面π1：

A1x+B1y+C1z+D1=0，法方向；

平面π2：

A2x+B2y+C2z+D2=0，法方向

（1）相互垂直的充要条件：

π1⊥π2⇔，即A1A2+B1B2+C1C2=0

（2）相互平行的充要条件：

π1//π2⇔即

（3）重合的充要条件：

π1与π2重合⇔

系数不满足以上条件时，两平面斜交.

（4）平面π1和π2的夹角θ满足。

4、点（x1，y1，z1）到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d=。

1.1.3直线

1、直线的方程

如果非零向量=（a，b，c）平行于一已知直线，则称为直线的方向向量。

（1）直线的标准式（点向式或对称式）方程：

过点（x0，y0，z0）以为方向向量的直线方程是。

（2）参数式方程：

由标准方程化为参数方程得

（3）一般式方程：

两平面的交线为一直线，即直线的一般方程为

方向向量。

（4）两点式方程：

过点与的直线方程为：

2、直线与直线的关系：

直线l1：

方向向量；

直线l2：

方向向量，

（1）相互平行的充要条件：

l1//l2⇔即

（2）相互垂直的充要条件：

，即a1a2+b1b2+c1c2=0

系数不满足以上条件时，两直线斜交.

（3）两直线的夹角θ满足：

3、直线与平面的位置关系

直线l1：

A1x+B1y+C1z+D1=0，法方向

（1）直线与平面的夹角θ满足：

（2）直线与平面平行的充要条件：

l1//π1

（3）直线与平面垂直的充要条件：

l1⊥π1

系数不满足以上条件时，直线与平面斜交.

1.1.4二次曲面

1、定义：

如果曲面上的点的坐标用x,y,z表示，常用表示一X曲面的方程。

如果为二次方程，则它所表示的曲面为二次曲面。

2、特殊的二次曲面方程:

球面方程：

（x－a）2+（y－b）2+（z－c）2=R2，球心：

（a，b，c），半径：

R

椭球面：

单叶双曲线方程

双叶双曲线方程

椭圆抛物面方程（p,q同号）

双曲椭圆抛物面方程（p,q同号）

锥面方程

1.1.5柱面

如果曲面方程中缺少一个变元，则称其为柱面方程。

柱面的母线与所缺变元同名的坐标轴平行。

如为母线平行于z轴的柱面方程；

为母线平行于x轴的柱面方程；

为母线平行于y轴的柱面方程。

1.1.6旋转曲面

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面，这条定直线称为旋转曲面的轴。

如：

xOy平面内一段方程为的曲线C，绕x轴旋转一周得到一个旋转面，该旋转曲面的方程为。

1.1.7空间曲线

（1）一般方程：

空间曲线可以看作是两个曲面的交线。

若空间曲线L是曲面和的交线，则L的方程可用下述方程组表示，此方程组称为空间曲线L的一般方程。

（2）参数方程：

若将空间曲线L上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数：

这方程组称为空间曲线L的参数方程。

例如，参数方程表示的空间曲线是螺旋线。

例1.1已知两点A（1，-1，2）和B（3，1，1），求向量的方向余弦。

解={3-1，1-（-1），1-2}={2，2，1}，

设的方向角为，则

例1.2求通过点P（2,-1,-1），Q（1,2,3）且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的平面方程。

解，已知平面的法矢量

取

所求平面为：

9（x-2）-（y+1）+3（z-1）=0即：

9x-y+3z-16=0

例1.3已知两直线方程，试求过且平行的平面方程。

解

过的平面束方程：

即

由平行∴得

所求方程为：

例1.4方程表示什么曲面？

解单叶双曲面。

1.2微分学

1.2.1极限

一、定义

1、数列的极限：

如果对于任意给定的ε>

0，总存在正整数N当n>

N时，恒有<

ε成立，则称常数a为数列当n趋于无穷时的极限。

记为。

2、函数的极限

（1）定义1：

设函数f（x）在点的某一去心邻域内有定义。

0，总存在正整数δ>

0，使得对于满足0<

<

δ的一切x，恒有<

ε，则称常数A为函数f（x）当x→时的极限。

（2）定义2：

0，总存在N>

0使得对于满足>

N的一切x，恒有<

3、左极限、右极限

（1）在的定义中，把0<

δ改为-δ<

x<

那么A为函数f（x）当x→时的左极限。

记为或f（-0）=A。

（2）在的定义中，把0<

δ改为<

+δ,那么A为函数f（x）当x→时的右极限。

记为或f（+0）=A。

（3）在的定义中，把>

N换为x>

N，则称常数A为函数f（x）当x→+时的极限。

（4）在的定义中，把>

N换为-x>

N，则称常数A为函数f（x）当x→-时的极限。

二、极限的性质

1、若>

0，则必存在的某邻域，在该邻域内任何异于的点x处，恒有f（x）>

0.

2、若f（x）≥0，且，则必有A≥0。

3、f（x）在处极限存在的充要条件是f（x）f（x）在处的左极限和右极限都存在且相等，三个值相同。

三、极限的四则运算

注意：

上述记号‘上m”下面的自变量变化过程可以是x、x。

，x、co，x、x。

，x。

xo＋，x、－co，x、＋co，但等号两端出现的必需是同一种。

四、极限存在准则和两个重要极限

1、夹通准则若，且当时，，则当时，有。

2、单调有界的数列（或函数）必有极限。

3、两个重要极限：

；

　　　或）

五、无穷小量、无穷大量

1、无穷小量：

如果，则称函数f（x）当x→（x→）时为无穷小量（无穷小）。

2、无穷小量的性质

（1）有限个无穷小量的代数和是无穷小量；

（2）有限个无穷小量的乘积是无穷小量；

（3）无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。

3、无穷小的比较

设α及β都是在同一个自变量变化过程中的无穷小，且α≠0，也是在这个变化

过程中的极限。

4、无穷大量：

如果当x→（x→），对应称函数值的绝对值无限增大，则称函数f（x）当x→（x→）时为无穷大量（无穷大）。

例1.5求下列极限

（1）

（2）（为非零常数）（3）

解

（1）题给极限式分子的最高次项为分母的最高次项为，由此得

（2）对任意的，，由重要极限得

（3）由于时，有，，因此还是无穷小量，故

1.2.2连续

一、函数的连续性

1．函数的连续性的定义

（1）若函数y=f（x）在点的某邻域内有定义，如果，则称f（x））在处连续。

（2）如果，即，则称f（x）在处左连续。

（3）如果，即，则称f（x）在处右连续。

若函数f（x）在区间I上每一点都连续，则称f（x）在该区间上连续。

特别，当I=[a，b]

时，f（x）在[a，b]上连续，是指f（x）在（a，b）内每一点处连续，且在a处右连续，在b处左连续。

2．函数的间断点

由函数在一点连续的定义可知，函数f（x）在一点处连续的条件是：

（1）有定义；

（2）存在；

（3）。

若上述条件中任何一条不满足，则f（x）在处就不连续，不连续的点就称函数的间断点。

间断点分成以下两类：

第一类间断点：

是f（x）的间断点，但及均存在；

第二类间断点：

不是第一类的间断点。

在第一类间断点中，若、均存在但不相等，则称这种间断点为跳跃间断点；

若及均存在而且相等，则称这种间断点为可去间断点。

二、初等函数的连续性

1．基本初等函数和初等函数

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成并可用一个

式子表示的函数，称为初等函数。

2．初等函数的连续性

一切初等函数在其定义区间内都是连续的，这里的“定义区间”是指包含在定义域内

的区间。

三、闭区间上连续函数的性质

设f（x）在闭区间[a，b]上连续上连续，则

（1）f（x）在［a，b］上有界（有界性定理）；

（2）f（x）在在［a，b］上必有最大值和最小值（最大值最小值定理）；

（3）当f（a）f（b）＜0时，在（a，b）内至少有一点ξ，使得f（ξ）=0（零点定理）；

（4）对介于f（a）＝A及f（b）＝B之间的任一数值C，在（a，b）内至少有一点ξ,使得f（ξ）=C（介值定理）。

例1.6讨论函数在处的连续性。

解的定义域为

由于在点处的左右极限不相等，故极限不存在，因此函数在点间断。

（补充说明：

由于，所以在点左连续，它的连续区间应为为，。

）

1.2.3导数

1、导数的概念

设函数在点及其某个邻域内有定义，对应于自变量在的改变量Δ＝－，函数相应的改变量，如果当时，极限存在，则称此极限值为函数在点处的导数。

记作，或或。

左导数

右导数

存在的充要条件、存在且相等。

函数在处连续是可导的必要条件，但不是充分条件，即在可导，则在必连续，反之不然。

2、导数的几何意义

函数在点的导数，在几何上表示曲线在点（，）处的切线的斜率。

3、求导法则

（1）导数的四则运算

（2）反函数求导法则

（3）复合函数求导法则

（4）隐含数求导法则

4、求导基本公式

5、高阶导数

（1）定义：

若函数的导函数仍可导，则的导数叫做函数的二阶导数，记作或或或。

类似地，有的三阶导数，四阶导数，…。

一般地，的（n-1）阶导数的导数，叫做f（x）的n阶导数，记作

或或。

（2）高阶导数的求导法则

若u＝u（x）及v=v（x）都在点x处有n阶导数，则

其中后一个公式称为莱布尼兹公式。

1.2.4微分