两角和差正余弦公式的证明Word文档格式.docx
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1.和角余弦公式
(方法1)如图所示,在直角坐标系中作单位圆,并作角,和,使角的始边为,交于点A,终边交于点B;
角始边为,终边交于点C;
角始边为,终边交于点。
从而点A,B,C和D的坐标分别为,,,。
由两点间距离公式得
;
。
注意到,因此。
注记:
这是教材上给出的经典证法。
它借助单位圆的框架,利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段,从而得到我们所要的等式。
注意,公式中的和为任意角。
2.差角余弦公式
仍然在单位圆的框架下,用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段,也可以得到我们希望的三角等式。
这就是
(方法2)如图所示,在坐标系中作单位圆,并作角和,使角和的始边均为,交于点C,角终边交于点A,角终边交于点。
从而点A,B的坐标为,。
由余弦定理得
从而有。
方法2中用到了余弦定理,它依赖于是三角形的内角。
因此,还需要补充讨论角和的终边共线,以及大于的情形。
容易验证,公式在以上情形中依然成立。
在上边的证明中,用余弦定理计算的过程也可以用勾股定理来进行。
也可以用向量法来证明。
(二)在三角形的框架下推导和差角正弦公式
除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式,还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。
1.和角正弦公式
(一)
(方法3)如图所示,为的边上的高,为边上的高。
设,,,则。
从而有
,
因此,
注意到,
从而有:
整理可得:
在方法3中,用和与底角,相关的三角函数,从两个角度来表示边上高,从而得到所希望的等式关系。
这一证明所用的图形是基于钝角三角形的,对基于直角或锐角三角形的情形,证明过程类似。
利用方法3中的图形,我们用类似于恒等变形的方式,可以得到下面的
(方法4)如图所示,为的边上的高,为边上的高。
设,,则。
注意到,则有,即。
从而有。
利用正弦定理和射影定理,将得到下面这个非常简洁的证法。
注意证明利用的图形框架与方法3,4所用的图形框架是相同的。
(方法5)如图所示,为的边上的高。
设,,则有,。
由正弦定理可得
其中d为的外接圆直径。
由得,
2.和角正弦公式
(二)
方法3,4和5利用的图形框架是将角,放在三角形的两个底角上。
如果将这两个角的和作为三角形的一个内角,将会有下面的几种证法(方法6~11)。
(方法6)如图所示,作于D,交外接圆于E,连和。
设,,则,,。
设的外接圆直径为d,则有,
,。
所以有。
注意到,从而。
(方法7)如图所示,为的边上的高,为边上的高。
设,,则。
设,则
,,,。
又
从而。
整理可得。
(方法8)如图所示,作于D,过D作于F,于G。
设,,则,设,从而,,,。
所以。
注意到,则有
我们用两种不同的方法计算,得到了和角的正弦公式。
如果我们用两种方法来计算,则可以得到和角的余弦公式。
由上图可得
注意到,从而可得。
方法6,7和8都是用角,的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段,从而构造出我们所希望的等式关系。
(方法9)如图所示,设为的边上的高。
设,,,,从而有
方法9利用面积关系构造三角恒等式。
下面这两个证法的思路则有所不同。
(方法10)如图所示,设为的外接圆直径d,长度为d。
设,,则,从而
这一证明用到了托勒密定理:
若和是圆内接四边形的对角线,则有。
(方法11)如图所示,为的边上的高。
方法10和11将某一线段作为基本量,利用与角,相关的三角函数表示其它线段,再通过联系这些线段的几何定理(托勒密定理或正弦定理),构造出我们希望的等式关系。
3.差角正弦公式
仍然还是在三角形中,我们可以在三角形的内角里构造出差角来。
方法12和13便是用这种想法来证明的。
(方法12)如图所示,。
设,,记,作于E,则,,从而有
(方法13)如图所示,为的外接圆直径,长度为d。
设,,则,。
从而
方法12和13的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段,借此来构造等式关系。
很显然,在这十二种证法中,方法1和2更具普遍性。
换言之,这两种方法中出现的角,是任意角。
而其余方法中,角和则有一定的限制,它们都是三角形的内角(甚至都是锐角)。
因此,对于方法3~13,我们需要将我们的结果推广到角和是任意角的情形。
具体而言,我们要证明:
如果公式对任意成立,则对任意角也成立。
容易验证,角和中至少有一个是轴上角(即终边在坐标轴上的角),我们的公式是成立的。
下面证明,角和都是象限角(即终边在坐标系的某一象限中的角)时,我们的公式也成立。
不妨设为第二象限角,为第三象限角,从而有
从而
同理可证,公式对于象限角和的其它组合方式都成立。
因此,我们可以将方法3~13推导的公式推广到角,是任意角的情形。
两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。
其推导证明对指导学生进行探究性学习很有帮助。
从上文中可以看到,这一探究过程可分为四个步骤:
(1)明确推导证明的目标:
构造联系和三角函数与或的等式或方程;
(2)简化课题:
四个公式只要解决一个,其余的都可由它推出;
(3)解决问题:
利用单位圆或三角形作为联系和三角函数与或的工具,寻找我们希望的等式关系;
(4)完善解决问题的方法:
考察方法是否有普遍性。
如果普遍性有欠缺,可考虑将其化归为已解决的情形,必要时还要进行分类讨论。