一元一次方程专题复习 3.docx
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一元一次方程专题复习3
一元一次方程专题复习
一、销售中的盈亏问题：
相关公式：
1、利润=售价-进价；
2、利率=利润/进价×100%；
3、售价=进价（1+利率）=标价×折数/10。
典型例题：
1、为了促销，商场将某商品按标价的9折出售，仍可获利10%。
如果商品的标价为33元，那该商品的进价为。
分析：
设商品的进价为x.
（1）若根据售价相等，则可列方程为____________________;
（2）若根据售价减进价等于所获利润可列方程为________________________;
解：
设商品的进价为x.由题意得：
X（1+10%）=33×0.9
解得：
x=27
答：
该商品的进价为27元。
2、某商店的老板销售一种商品，他要以利润不低于进价的20%的价格出售，但为了获得更高的利润，他以利润高出进价的80%的价格标价。
如果你想买下标价为360元的这种商品，那么商店老板最多愿降价元。
分析：
老板降价后所获得的最低利润率要等于20%。
解：
设最多降价x元时商店老板才能出售．
则可得：
360÷1.8×（1+20%）+x=360
解得：
x=120．
答：
商店老板最多愿降120元。
3、某商品现在的进价便宜20％，而售价未变，则其利润比原来增加了30个百分点，那么原来的利润率为。
（1+x）=（1-20%）（1+x+30%）,解得：
x=20%
跟踪训练：
1、若一件商品的进价为a元，商家提高６０％标价，则标价为（ ），再按标价打８折出售，则售价为（ ），此时商家盈利（ ）元，利率是（ ）。
2、一件商品进价为50元，若按标价80元打折销售仍可获取20%的利润。
求是打几折销售的？
3、某商品每件成本72元，原来按定价出售，每天可售出100件，每件利润为成本的25%，后来按定价的90%出售，每天销售量提高到原来的2.5倍，照这样计算，每天的利润比原来增加了多少元？
4、某店原来将一批水果按100%的利润定价出售，由于定价过高，无人购买，不得不按38%的利润重新定价，这样售出了其中的40%，此时，因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果，结果实际获得的总利润是原定利润的30.2%，那么第二次降价后的价格是原定价的百分之几？
5、一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了．
二、浓度问题：
相关公式：
1、溶质＝溶液×浓度（
），
2、溶液＝溶质＋溶剂。
提示：
这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意。
1、有浓度为98%的硫酸溶液8千克，加入浓度为20%的硫酸溶液多少千克，可配制成浓度为60%的硫酸溶液。
分析：
8千克浓度为98%的硫酸溶液中含硫酸98%×8千克，x千克浓度为20%的硫酸溶液含硫酸20%x；混合配制成（x+8）千克浓度为60%的硫酸溶液，（x+8）千克浓度为60%的硫酸溶液中含硫酸60%（x+8）千克。
根据混合钱的溶质质量等于混合后的溶质质量列出方程。
解：
设应加入浓度为20%的硫酸溶液x千克，根据题意得：
98%×8+20%x=60%（x+8）
解得：
x=7.6
答：
应加入浓度为20%的硫酸溶液7.6千克
2、含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_____________千克。
解：
设原来A种饮料的浓度为a，原来B种饮料的浓度为b，从每种饮料中倒出的相同的重量是x千克．
由题意，得［ax+b（60-x）］÷60=［bx+a（40-x）］÷40，
化简得（5a-5b）x=120a-120b，即（a-b）x=24（a-b），
∵a≠b，∴x=24．
∴从每种饮料中倒出的相同的重量是24千克．
跟踪训练：
1、有浓度为98%的硫酸溶液8千克，加入浓度为20%的硫酸溶液多少千克，可配制成浓度为60%的硫酸溶液。
2、从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是。
3、浓度不同的A、B两种酒精，A种酒精重30千克，B种酒精重70千克现从这两种酒精中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种酒精所倒出的部分与另一种酒精余下的部分混合．如果混合后的两种酒精浓度相同，那么从每种酒精中倒出的相同的重量是_____________千克
4、某商店选用每千克28元的甲种糖3千克，每千克20元的乙种糖2千克，每千克12元的丙种糖5千克，混合成杂拌糖后出售，则这种杂拌糖平均每千克售价是元。
三、行程问题：
基本关系：
路程＝速度×时间。
（一）相遇问题和追及问题：
（1）相遇问题：
①相遇时间×速度和=路程和
②S甲+S乙=S
（2）追及问题：
①追及时间×速度差=被追及距离．
②S快+S慢=S
典型例题：
例1：
A、B两地相距480千米，一辆慢车从A地开出，每小时行60千米；一辆快车从B地开出，每小时行100千米。
（1）如果两车同时开出相向而行，多少小时相遇？
（2）如果两车同时开出同向（沿BA方向）而行，快车几小时可以追上慢车？
（3）慢车先开出一小时，两车相向而行，快车开出几小时与慢车相遇？
（4）如果两车同时开出相向而行，多少小时两车相距160千米？
（5）如果两车同时开出同向（沿BA方向）而行，多少小时两车相距80千米？
分析：
（1）小题是属于相遇问题还是追击问题？
等量关系是什么？
（2）小题是追击问题，等量关系是什么？
（3）小题的等量关系是什么？
（4）注意考虑相遇前和相遇后两种情况；
（5）注意考虑追到前和追上后两种情况；
例2：
因气候原因，某县城郊外山体引发滑坡，县城居民发现后立即从县城跑步前去救援，此时县政府紧急启动应急预案，一段时间后，公安干警、消防官兵、医疗人员分别乘坐甲、乙、丙三种速度各不相同的车，紧急从县城沿同一线路同时赶往事发地．已知公安、消防、医院分别用5分钟、6分钟、8分钟追上县城救援的居民，且甲车每小时走132km，乙车每小时走112km，则丙车每小时走km．
分析：
这是一个典型的追及问题。
设现城距事发地 skm,则甲车在5分钟内走的路程比居民在5分钟内走的路程多 skm，同理，乙车6分钟内走的路程比居民在6分钟内走的路程也多 skm，若设居民行走的速度为v，则132×5-5v=112×6-6v,解得v=12km|h;而丙车在8分钟内走的路程比居民在8分钟内走的路程任然多 skm，若设丙车的速度为xkm|h,可得：
8x-8×12=132×5-5×12，从而解得x=87km|h.
跟踪练习：
1、休息日弟弟和妈妈从家里出发一同去外婆家，他们走了1小时后，哥哥发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追，如果弟弟和妈妈每小时行2千米，他们从家里到外婆家需要1小时45分钟，问哥哥能在弟弟和妈妈到外婆家之前追上他们吗？
2、某人以4千米每小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米每小时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是多少千米每小时？
（二）环形跑道问题
这种问题有两种类型：
同向和异向．当同向出发时，相当于追及问题；当异向出发时，相当于相遇问题．
假设甲、乙两人同时从A地出发，同向而行，则快者第一次追上慢者时，快者比慢者多跑一圈路程，即S甲-S乙=1圈长
假设甲、乙两人同时从A地出发，异向而行，则两人第一次相遇时，两人所走路程之和等于一圈长，即S甲+S乙=1圈长
典型例题：
例1：
甲、己两人环湖散步，环湖一周是400m，甲每分钟走80m，乙速是甲速的5/4。
（1）甲，乙两人在同地背向而行，多长时间后两人第一次相遇？
（2）甲，己两人在同地同向而行，多长时间后两人第一次相遇?
（3）若甲在乙前面100m，多长时间后两人第一次相遇?
跟踪训练：
1、甲,乙二人在400米的环形跑道上跑步，已知甲的速度比乙快，如果二人在同一地方出发，同向跑，则3分20秒，相遇一次，若反向跑，则40秒相遇，求甲跑步的速度每秒跑多少米？
2、已知时钟的时间刚好是四点整，经过多少分钟时针和分针成60度角？
（三）航行问题：
速度关系是：
①顺水速度＝静水中速度＋水流速度；
②逆水速度＝静水中速度－水流速度。
飞行问题、基本等量关系：
①顺风速度＝无风速度＋风速
②逆风速度＝无风速度－风速。
等量关系常为：
顺水路程=逆水路程。
典型例题：
例1：
在长江中有甲、乙两船，现同时由A顺流而下，乙船到B地时接到通知要立即返回到C地执行任务，甲船继续航行，已知甲、乙两船在静水中的速度都是7.5km/h，水流速度是2.5km/h，A、C两地间距离为10km。
如果乙船由A经B地到达C地共用4h，问乙船从B地到达C地时甲船驶离B地多远?
分析：
此题最好间接设元。
可设AB两地相距xkm。
题目说A、C两地间距离为10km，没有明确说明C地在A地的上游（在线段AB外）还是在A地的下游（在线段AB上），所以分两种情况进行解答。
等量关系为：
乙船从A到B的时间+乙船从B到C的时间=4.
当C地在A地的上游时，乙船顺流航行了xkm,逆流航行了（x+10）km,共用了4小时。
所列方程为__________________________________________;
当C地在A地的下游时，乙船顺流航行了xkm,逆流航行了（x-10）km,共用了4小时。
所列方程为__________________________________________;
解：
设A、B两地相距xkm。
当C地在A地的上游时，由题意得：
x|10+（x+10）|5=4，解得：
x=20|3.
此时甲船驶离B地：
4×10-20|3=100|3km.
当C地在A地的下游时,由题意得：
x|10+（x-10）|5=4，解得：
x=20.
此时甲船驶离B地：
4×10-20=20km.
答：
当C地在A地的上游时乙船从B地到达C地时甲船驶离B地100|3km.
当C地在A地的下游时乙船从B地到达C地时甲船驶离B地20km.
跟踪训练：
1、一轮船航行于两个码头之间，逆水需10h，顺水需6h已知该船在静水中中每小时航行12km。
求水流速度和两码头之间的距离。
2、一轮船从重庆到上海要5昼夜，而从上海到重庆要7昼夜，那么有一木筏从重庆顺流漂到上海要多少天？
（四）火车过桥问题
（1）车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段过程，所走路程为一个车长+桥长；
（2）车在桥上指车尾接触桥到车头离开桥的一段过程，所行路程为桥长-车长．
1、某桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到过完桥共用60秒。
而整列火车完全在桥上的时间是40秒，求火车的速度和长度
（五）错车问题：
1、反向错车（相遇问题）：
两列火车的速度和×错车时间=两列火车的长度和；
2、同向错车（追及问题）：
两列火车的速度差×错车时间=两列火车的长度和；
应用：
甲、乙两列火车的长分别为144m、180m，甲车比乙车每秒钟多行4m。
（1）两列车相向行驶，从相遇到全部错开（从两车头相遇到两车尾离开），需9s。
问两车速度各是多少？
（2）若同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车，需要多少秒钟？
四、工程问题：
基本数量关系：
1、工作总量＝工作效率×工作时间；
2、合做的效率＝各单独做的效率的和。
当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”，分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。
例题：
1、整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作。
假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
分析：
1、这些人的工作效率相同，都是______；
2、假设先安排x个人工作4小时完成的工作量是______,增加2人一起工作8个小时完成的工作量是_______；
3、此题的等量关系是___________________,所列方程是____________________.
2、一群割草人要把两片草地的草割完．两片草地一大一小，大的比小的大一倍，大家都先在大片草地上割了半天，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割，到下午收工时恰好割完；另一半人到小片草地上割，到收工时还剩下一小块，这一小块次日由一个人去割，恰好需要一天工夫．问：
这群割草者共有多少人?
分析：
设每个人的工效为1，共有x个人参与割草。
等量关系为：
大片草地的工作总量=2×小片草地的工作总量。
x个人在大片草地上割半天完成的工作量为：
0.5x,午后一半的人即0.5x又工作半天完成的工作量是0.5x×0.5，结果恰好割完，即：
大片草地的工作总量是（0.5x+0.5x×0.5）。
另一半人到小片草地上割草半天完成的工作量是：
0.5x×0.5，剩下的一小块第二天由一个人去割恰好割了一天即完成的工作量为“1”，所以小片草地的工作总量为：
（0.5x×0.5+1）。
由题意得：
0.5x+0.5x×0.5=2（0.5x×0.5+1），解得：
x=8.
练习：
1、一项工程，由甲独做需x小时完成，由乙独做需y小时完成，则甲的工作效率是_______;乙的工作效率是____;甲、乙合做的工作效率是______;甲、乙合做需_______小时完成。
2、一项工作甲单独做需要１０天，乙单独做需要１５天，两人合作一天完成（ ），两人共同完成需要（ ）天。
3、一项工程，甲队做需要10天完成，乙队做需20天完成，两队共同做了3天后；甲队采用新技术，工作效率提高了1|3，求自甲队采用新技术后，两队还需合做多少天才能完成这项工程？
4、甲、乙、丙三人在
、
两块地植树，其中甲在
地植树，丙在
地植树，乙先在
地植树，然后转到
地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树8棵，6棵，10棵.若乙在
地植树10小时后立即转到
地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但
地比
地早9小时完成，则乙应在
地植树小时后立即转到
地．
五、和、差、倍、分问题：
问题的特点是：
已知两个量之间存在合倍差关系，可以求这两个量的多少。
基本方法是：
以和倍差中的一种关系设未知数并表示其他量，选用余下的关系列出方程。
例题：
1、大文豪托尔斯泰的割草问题
列夫．托尔斯泰是俄罗斯文学大师，他的作品如《战争与和平》、《安娜．卡列尼娜》、《复活》等都是世界文学名著．托尔斯泰在文学创作之余，对数学也很爱好，下面就是他很感兴趣的一道应用题：
一群割草人要把两片草地的草割完．两片草地一大一小，大的比小的大一倍，大家都先在大片草地上割了半天，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割，到下午收工时恰好割完；另一半人到小片草地上割，到收工时还剩下一小块，这一小块次日由一个人去割，恰好需要一天工夫．问：
这群割草者共有多少人?
这道题的解法很多，既可以用算术方法解，也可以用代数方法解，我们举几个代数解法的例子．
解法一：
已知大片草地是小片草地的2倍，所以小片草地占两片草地总和的
，设这群割草者共有x人，则两片草地由x人割了一天，又由一个人割了一天，若由一个人割这两片草，则需x十1天，一个人割完小片草地的草需
（x+1）天，另一方面，小片草地由
人割了半天后还需一个人割一天，相当于一个人割了
+1天，因而可得方程
解得x=8（人）
解法二：
设这群割草者共有x人，则一个人割完大片草地的草需
（x+1）天,一个人割完小片草地的草需
十1天，大片草地是小片草地的2倍，一个人割完大片草地的草所需的时间也应是他割完小片草地的草所需时间的2倍，于是得；
解得x=8（人）
2、甲、乙、丙三人拿出同样多的钱，合伙订购同种规格的若干件商品，商品买来后，甲、乙分别比丙多拿了7、11件商品，最后结算时，甲付给丙14元，那么，乙应付给丙元。
练习：
1、曾经有人问古希腊著名数学家毕达哥拉斯：
“尊敬的毕达哥拉斯，请你告诉我，有多少名学生在你的学校里听你讲课？
”毕达哥拉斯回答说：
“一共有这么多学生在听课：
其中二分之一在学数学，四分之一学习音乐，七分之一沉默无言，此外还有三名女生。
”你能算出有多少名学生吗？
2、四堆苹果共有46个，如果第一堆增加1个，第二堆减少2个，第三堆增加1倍，第四堆减少一半，那么这四堆苹果的个数都相同，这四堆苹果原来各有多少个？
六、搭配问题：
找准每套需要的各部分的比例关系或是倍数关系。
例题：
1、某车间有62名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个，应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套？
（每3个甲种零件和2个乙种零件配成一套）
分析：
等量关系为：
甲种零件的总个数=3|2甲种零件的总个数；
设x个人做甲零件，一天可做甲零件12x个，（62-x）个人做乙零件，一天可做23（62-x）个。
由题意得：
12x=3|2×23（62-x），解得：
x=46，62-46=16.
2、某车间每天能生产甲种零件120个，或生产乙种零件100个，或丙种零件200个。
甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，要在30天内生产出最多的成套产品，问甲、乙、丙三种零件各应生产多少天？
分析：
因为甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，所以甲、乙、丙三种零件的个数比就应是3:
2:
1,。
可设甲、乙、丙三种零件分别做3x个、2x个、x个，等量关系为：
做甲零件的天数+做乙零件的天数+做丙种零件的天数=30，
即：
3x|120+2x|100+x|200=30，解得：
x=600.
甲：
3×600÷120=15（天），乙：
2×600÷100=12（天），丙：
600÷200=3（天）。
练习：
1、星光服装厂接受生产一些某种型号的学生服装的订单，已知每3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用750m长的这种布料生产学生服。
应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？
共能生产多少套
七、增长率问题：
例题：
1、某村去年种植的油菜籽亩产量达160千克，含油率为40%，今年改种新选育的油菜籽后，亩产量提高了20千克，含油率提高了10个百分点．
（1）今年与去年相比，这个村的油菜种植面积减少了44亩，而村榨油厂用本村所产油菜籽的产油量提高20%，今年油菜植种面积是多少亩？
（2）油菜种植成本为210元/亩，菜油收购价为6元/千克，请比较这个村去、今两年油菜种植成本与将菜油全部售出所获收入．
分析：
问题中有基本等量关系．产油量＝油菜籽亩产量×含油率×种植面积
解：
（1）设今年种植油菜x亩，则去年种植油菜（x+44）亩．
由上面基本等量关系，得，
去年产油量＝160×40%×（x+44）；
今年产油量＝；
根据今年比去年产油量提高20%，列方程：
因此今年油菜种植面积是亩．
（2）去年油菜种植成本为210（x+44）
售油收入为
售油收入与油菜种植成本差为
今年油菜种植成本为
售油收入为
今年比去年售油收入增加了
今年比去年种植油菜纯收入增加了
2、“节能减排，低碳经济”是我国未来发展的方向，某汽车生产商生产有大、中、小三种排量的轿车，正常情况下的小排量的轿车占生产总量的30%，为了积极响应国家的号召，满足大众的消费需求准备将小排量轿车的生产量提高，受其产量结构调整的影响，大中排量汽车生产量只有正常情况下的90%，但生产总量比原来提高了6.5%，则小排量轿车生产量应比正常情况增加%。
分析：
可把调整前的轿车总量为“1”，其中大、中型总量为70%，小型总量为30%；调整后大、中型总量为70%×90%，小型总量为30%（1+x）.等量关系为：
现在的生产总量=原来的生产总量（1+6.5%），由题意得方程：
70%×90%+30%（1+x）=1×（1+6.5%），解得：
x=45%。
练习：
1、甲、乙两个汽车厂，按计划每月生产汽车共460辆，由于两厂都改进了技术，本月甲厂完成计划的110%，乙厂完成计划的115%，两厂共生产汽车519辆，按计划甲、乙两厂各生产汽车多少辆？
2、某公司销售A、B、C三种产品，在去年的销售中，高新产品C的销售金额占总销售金额的40%．由于受国际金融危机的影响，今年A、B两种产品的销售金额都将比去年减少20%，因而高新产品C是今年销售的重点．若要使今年的总销售金额与去年持平，那么今年高新产品C的销售金额应比去年增加____%．
八、择优问题：
方法：
1、确定“分界点”（根据两种方案价格相等的时候列出方程）；
2、代入特殊值进行计算；
3、通过比较做结论。
例题：
1、重庆巴南区被列为“中国十大温泉之乡”，泡温泉已成为一种时尚的休闲方式，其中南温泉的票价是每人次30元，现推出每月60元优惠卡政策，当月凭卡购买门票的价格是每人次18元，你知道哪种购票方式比较合算吗？
提示：
（1）因为费用少的就合算，所以对于每一种购票方式，什么使费用变化，就设什么为未知数；
（2）要比较哪一种更合算，应先知道什么情况下两种费用一样，找出分界点；
（3）利用特殊值试探分界点上下的值会使哪一种方式更合算。
解：
设当买x张票时费用一样多，由题意得：
30x=60+18x解得：
x=5
当x=2时，
30x=30×2=60（元），60+18x=60+18×2=96（元）
当x=10时，30x=30×10=300（元），60+18x=60+18×10=240（元）
答：
当买5张票时两种费用一样多；当少于5张票时，不买卡合算；当多余5张时，买卡合算。
2、某果品公司欲请汽车运输公司或火车货运站将60吨水果从A地运到B地，已知汽车和火车从A地到B地的运输路程为skm.这两家运输单位在运输过程中，除都要收取运输途中每吨每小时5元的冷藏费外，还要收取的其他费用及有关运输资料由下表给出：
运输工具
行驶速度
（km/h）
运输单位
（元/t·km）
装卸总费用
（元）
汽车
50
2
3000
火车
80
1．7
4610
（1）清分别写出这两家运输单位送这批水果所要收取的总费用y1（元）和y2（元）（用含s的式子表示）
（2）为减少费用，你认为果品公司应选择哪家运输单位运送这批水果更为分合算？
（说明“1元/t•km”表示“每吨每千米1元”）
【提示】总费用=冷藏费+运输费+装卸总费用
分析：
因为总费用=冷藏费+运输费+装卸总费用，其中冷藏费是每吨每小时5元，所以冷藏费与速度有关，若请汽运公司则冷藏费为_____，若请火车货运站则冷藏费为____；
所以：
Y1=__________________;Y2=__________________.
第
（2）小题按例1解题过程完成。
即：
当Y1=Y2时找到分界点，然后代入特殊值进行计算，最后作比较得结论。
跟踪练习：
1、某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元。
因为在生产过程中，平
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