一元二次方程解法讲义ok文档格式.doc

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（3）四个特点：

（1）只含有一个未知数；

（2）且未知数次数最高次数是2；

（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：

时，应满足（a≠0）

（4）难点：

如何理解“未知数的最高次数是2”：

①该项系数不为“0”；

②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：

例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）

AB C D

变式：

当k时，关于x的方程是一元二次方程。

例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。

考点二、方程的解

⑴概念：

使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：

利用根的概念求代数式的值；

例1、已知的值为2，则的值为。

例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为。

说明：

任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.

例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为。

本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。

例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为。

例5、已知，，，求

若，，则的值为。

6、方程的一个根为（）

AB1CD

7、若。

考点三、方程解法

（1）基本思想方法：

解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

（2）方法：

①直接开方法；

②因式分解法；

③配方法；

④公式法

类型一、直接开方法：

就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如

※对于，等形式均适用直接开方法

例1、解方程：

（2）

（4）（5）

例2、解关于x的方程：

3.下列方程无解的是（）

A.B.C.D.

类型二、配方法

基本步骤:

1.先将常数c移到方程右边2.将二次项系数化为1

　　3.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式：

※在解方程中，多不用配方法；

但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

例1、试用配方法说明的值恒大于0，的值恒小于0。

例2、已知x、y为实数，求代数式的最小值。

若，则t的最大值为，最小值为。

例3、已知为实数，求的值。

变式1：

已知，则.

变式2：

如果,那么的值为。

例4、分解因式：

类型三、因式分解法:

把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法

※方程特点：

左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，

※方程形式：

如，，

※分解方法:

提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法

针对练习：

例1、的根为（）

ABCD

例2.

（1）（平方差）

（2）（提公因式）

（3）（平方差）（4）（完全平方式）

（5）（完全平方式）（6）（十字相乘法）

（7）（十字相乘法）（8）（提公因式）

例3、若，则4x+y的值为。

例4、方程的解为（）

A.B.C.D.

例5、解方程：

例6、已知,则的值为。

已知,且,则的值为。

例7、解下列方程

（1）（2x–3）2=（3x–2）2

（2）-=x+2

（4）5m2–17m+14=0（5）（x2+x+1）（x2+x+12）=42（6）2x2+（3a-b）x–2a2+3ab-b2=0

例8、解关于x的方程x2+x–2+k（x2+2x）=0（对k要讨论）

类型四、公式法：

把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别式大于等于零时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式,就可得到方程的根。

⑴条件：

⑵公式：

例1、选择适当方法解下列方程：

⑴⑵⑶

⑷⑸

解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；

一般不选择配方法。

例2、在实数范围内分解因式：

（1）；

（2）.⑶

①对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这

种方法首先令=0，求出两根，再写成=.

②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.

类型五、“降次思想”的应用

主要内容：

⑴求代数式的值；

⑵解二元二次方程组。

例1、已知，求代数式的值。

例2、如果，那么代数式的值。

例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。

在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：

①能对已知式进行灵活的变形；

②能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂，最后求解。

例4、用两种不同的方法解方程组

解二元二次方程组的具体思维方法有两种：

①先消元，再降次；

②先降次，再消元。

但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.

考点四、根与系数的关系

⑴前提：

对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。

⑵主要内容：

⑶应用：

整体代入求值。

例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三

角形的斜边是（）

A.B.3C.6D.

要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握、、、之间的运算关系.

例2、解方程组：

一些含有、、的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.

例3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？

若存在，求出k的值；

若不存在，请说明理由。

例4、当取何值时，方程的根与均为有理数？

例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。

你知道原来的方程是什么吗？

其正确解应该是多少？

例6、已知，，，求

例7、已知是方程的两个根，那么.

测试题目：

一、选择题

1．解方程：

3x2+27=0得（ 

）.

（A）x=±

3 

（B）x=-3 

（C）无实数根 

（D）方程的根有无数个

2．方程（2-3x）+（3x-2）2=0的解是（ 

（A）,x2=-1 

（B） 

（C）x1=x2= 

（D）,x2=1

3.方程（x-1）2=4的根是（ 

（A）3,-3 

（B）3,-1 

（C）2,-3 

（D）3,-2

4.用配方法解方程:

正确的是（ 

（A） 

（B）

（C）,原方程无实数解 

（D）原方程无实数解

5.一元二次方程用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的是（ 

a=1,b= 

（B）a=1,b=-,c=2

（C）a=-1,b=-,c=-2 

（D）a=-1,b=,c=2

6．用公式法解方程：

3x2-5x+1=0，正确的结果是（ 

（B） 

（C） 

（D）都不对

二、填空

7．方程9x2=25的根是___________...

8.已知二次方程x2+（t-2）x-t=0有一个根是2,则t=________,另一个根是_________.

9.关于x的方程6x2-5（m-1）x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为__________.

10.关于x的方程（m2-m-2）x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.

11.方程（x+2）（x-a）=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=________.

三、用适当的方法解下列关于x和y的方程

12．（x+2）（x-2）=1. 

13.（3x-4）2=（4x-3）2

14.3x2-4x-4=0. 

15.x2+x-1=0.

16.x2+2x-1=0. 

17.（2y+1）2+3（2y+1）+2=0.

18.2x2- 

19.x2-bx-2b2=0.

20.a2x2+2abx+b2-4=0（a≠0）.21．（b-c）x2-（c-a）x+（a-b）=0（a≠c）

22．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.

（A）因式分解法 

（B）配方法（C）公式法

23．解方程：

（1） 

（2）

24．解关于x的方程：

x2-2x+1-k（x2-1）=0

25．已知|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx（x+1）-5（x+1）（x-1）=x2

26、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千