高中数学数列测试题技巧归纳Word格式文档下载.docx

高中数学数列测试题技巧归纳Word格式文档下载.docx

《高中数学数列测试题技巧归纳Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学数列测试题技巧归纳Word格式文档下载.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

9．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是（）．

A．B．－C．－或D．

10．在等差数列{an}中，an≠0，an－1－＋an＋1＝0（n≥2），若S2n－1＝38，则n＝（）．

A．38B．20C．10D．9

二、填空题

11．设f（x）＝，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f（－5）＋f（－4）＋…＋f（0）＋…＋f（5）＋f（6）的值为.

12．已知等比数列{an}中，

（1）若a3·

a4·

a5＝8，则a2·

a3·

a5·

a6＝．

（2）若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝．

（3）若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝.

13．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．

14．在等差数列{an}中，3（a3＋a5）＋2（a7＋a10＋a13）＝24，则此数列前13项之和为.

15．在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝.

16．设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f（n）表示这n条直线交点的个数，则f（4）＝；

当n＞4时，f（n）＝．

三、解答题

17．

（1）已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n，求证数列{an}成等差数列.

（2）已知，，成等差数列，求证，，也成等差数列.

18．设{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．

（1）求q的值；

（2）设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．

19．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn（n＝1，2，3…）．

求证：

数列{}是等比数列．

20．已知数列{an}是首项为a且公比不等于1的等比数列，Sn为其前n项和，a1，2a7，3a4成等差数列，求证：

12S3，S6，S12－S6成等比数列.

一、选择题

1．C解析：

由题设，代入通项公式an＝a1＋（n－1）d，即2005＝1＋3（n－1），∴n＝699．

2．C解析：

本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．

设等比数列{an}的公比为q（q＞0），由题意得a1＋a2＋a3＝21，

即a1（1＋q＋q2）＝21，又a1＝3，∴1＋q＋q2＝7．

解得q＝2或q＝－3（不合题意，舍去），

∴a3＋a4＋a5＝a1q2（1＋q＋q2）＝3×

22×

7＝84．

3．B．解析：

由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除C．

又a1·

a8＝a1（a1＋7d）＝a12＋7a1d，

∴a4·

a5＝（a1＋3d）（a1＋4d）＝a12＋7a1d＋12d2＞a1·

a8．

4．C解法1：

设a1＝，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0中两根之和为2，x2－2x＋n＝0中两根之和也为2，

∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，

∴d＝，a1＝，a4＝是一个方程的两个根，a1＝，a3＝是另一个方程的两个根．

∴，分别为m或n，

∴｜m－n｜＝，故选C．

解法2：

设方程的四个根为x1，x2，x3，x4，且x1＋x2＝x3＋x4＝2，x1·

x2＝m，x3·

x4＝n．

由等差数列的性质：

若γ＋s＝p＋q，则aγ＋as＝ap＋aq，若设x1为第一项，x2必为第四项，则x2＝，于是可得等差数列为，，，，

∴m＝，n＝，

∴｜m－n｜＝．

5．B解析：

∵a2＝9，a5＝243，＝q3＝＝27，∴q＝3，a1q＝9，a1＝3，∴S4＝＝＝120．

6．B解析：

解法1：

由a2003＋a2004＞0，a2003·

a2004＜0，知a2003和a2004两项中有一正数一负数，又a1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a2003＞a2004，即a2003＞0，a2004＜0.

∴S4006＝＝＞0，∴S4007＝·

（a1＋a4007）＝·

2a2004＜0，

故4006为Sn＞0的最大自然数.选B．

由a1＞0，a2003＋a2004＞0，a2003·

a2004＜0，同解法1的分析得a2003＞0，a2004＜0，∴S2003为Sn中的最大值．

∵Sn是关于n的二次函数，如草图所示，

∴2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，

∴在对称轴的右侧．根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点B的左侧，4007，4008都在其右侧，Sn＞0的最大自然数是4006．

7．B解析：

∵{an}是等差数列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6，

又由a1，a3，a4成等比数列，∴（a1＋4）2＝a1（a1＋6），解得a1＝－8，∴a2＝－8＋2＝－6．

8．A解析：

∵＝＝＝·

＝1，∴选A．

9．A解析：

设d和q分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d且－4＝（－1）q4，

∴d＝－1，q2＝2，∴＝＝．

10．C解析：

∵{an}为等差数列，∴＝an－1＋an＋1，∴＝2an，

又an≠0，∴an＝2，{an}为常数数列，而an＝，即2n－1＝＝19，∴n＝10．

11．．解析：

∵f（x）＝，∴f（1－x）＝＝＝，

∴f（x）＋f（1－x）＝＋＝＝＝．

设S＝f（－5）＋f（－4）＋…＋f（0）＋…＋f（5）＋f（6），则S＝f（6）＋f（5）＋…＋f（0）＋…＋f（－4）＋f（－5），

∴2S＝[f（6）＋f（－5）]＋[f（5）＋f（－4）]＋…＋[f（－5）＋f（6）]＝6，

∴S＝f（－5）＋f（－4）＋…＋f（0）＋…＋f（5）＋f（6）＝3．

12．

（1）32；

（2）4；

（3）32．解析：

（1）由a3·

a5＝，得a4＝2，

∴a2·

a6＝＝32．

（2），

∴a5＋a6＝（a1＋a2）q4＝4．

（3），∴a17＋a18＋a19＋a20＝S4q16＝32．

13．216．解析：

本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与，同号，由比中项的中间数为＝6，插入的三个数之积为×

×

6＝216．

14．26．解析：

∵a3＋a5＝2a4，a7＋a13＝2a10，∴6（a4＋a10）＝24，a4＋a10＝4，

∴S13＝＝＝＝26．

15．－49．解析：

∵d＝a6－a5＝－5，∴a4＋a5＋…＋a10＝＝

＝7（a5＋2d）＝－49．

16．5，（n＋1）（n－2）．解析：

同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f（k）＝f（k－1）＋（k－1）．

由f（3）＝2，f（4）＝f（3）＋3＝2＋3＝5，f（5）＝f（4）＋4＝2＋3＋4＝9，……f（n）＝f（n－1）＋（n－1）相加得f（n）＝2＋3＋4＋…＋（n－1）＝（n＋1）（n－2）．

17．分析：

判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数．

证明：

（1）n＝1时，a1＝S1＝3－2＝1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3（n－1）2－2（n－1）]＝6n－5，

n＝1时，亦满足，∴an＝6n－5（n∈N*）．

首项a1＝1，an－an－1＝6n－5－[6（n－1）－5]＝6（常数）（n∈N*），

∴数列{an}成等差数列且a1＝1，公差为6．

（2）∵，，成等差数列，∴＝＋化简得2ac＝b（a＋c）．

＋＝＝＝＝＝2·

，

∴，，也成等差数列．

18．解：

（1）由题设2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q，∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1或－．

（2）若q＝1，则Sn＝2n＋＝．当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝＞0，故Sn＞bn．

若q＝－，则Sn＝2n＋（－）＝．当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝，

故对于n∈N+，当2≤n≤9时，Sn＞bn；

当n＝10时，Sn＝bn；

当n≥11时，Sn＜bn．

19．证明：

∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，∴（n＋2）Sn＝n（Sn＋1－Sn），整理得nSn＋1＝2（n＋1）Sn，所以＝．故{}是以2为公比的等比数列．

20．证明：

由a1，2a7，3a4成等差数列，得4a7＝a1＋3a4，即4a1q6＝a1＋3a1q3，

变形得（4q3＋1）（q3－1）＝0，∴q3＝－或q3＝1（舍）．由＝＝＝；

＝－1＝－1＝1＋q6－1＝；

得＝．∴12S3，S6，S12－S6成等比数列．

数列通项公式的十种求法

一、公式法

例1已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：

两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。

评注：

本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。

二、累加法

例2已知数列满足，求数列的通项公式。

由得则

所以数列的通项公式为。

本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例3已知数列满足，求数列的通项公式。

所以

例4已知数列满足，求数列的通项公式。

两边除以，得，

则，故

因此，

则

本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。

三、累乘法

例5已知数列满足，求数列的通项公式。

因为，所以，则，故

所以数列的通项公式为

本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例6（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。

因为①

所以②

用②式－①式得

故

所以③

由，，则，又知，则，代入③得。

所以，的通项公式为

本题解题的关键是把递推关系式转