等差数列教学案例分析及教学反思Word文档格式.docx
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上节课我们学习了数列。
在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题,都需要用到有关数列的知识来解决。
今天我们就先学习一类特殊的数列。
倾听
课堂引入
探索研究
由学生观察分析并得出答案:
在现实生活中,我们经常这样数数,从0开始,每隔5数一次,可以得到数列:
0,5,___,___,___,___,…
2000年,在澳大利亚悉尼举行的奥运会上,女子举重被正式列为比赛项目。
该项目共设置了7个级别。
其中较轻的4个级别体重组成数列(单位:
kg):
48,53,58,63。
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清理水库的杂鱼。
如果一个水库的水位为18cm,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m。
那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:
m):
18,15.5,13,10.5,8,5.5
我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算下一期的利息。
按照单利计算本利和的公式是:
本利和=本金×
(1+利率×
寸期).例如,按活期存入10000元钱,年利率是0.72%。
那么按照单利,5年内各年末的本利和分别是:
时间
年初本金(元)
年末本利和(元)
第1年
10000
10072
第2年
10144
第3年
10216
第4年
10288
第5年
10360
各年末的本利和(单位:
元)组成了数列:
10072,10144,10216,10288,10360。
观察分析,发表各自的意见
引向课题
发现规律
思考:
同学们观察一下上面的这四个数列:
0,5,10,15,20,……①
48,53,58,63②
18,15.5,13,10.5,8,5.5③
10072,10144,10216,10288,10360④
看这些数列有什么共同特点呢?
通过分析,激发学生学习的探究知识的兴趣,引导揭示数列的共性特点。
总结提高
[等差数列的概念]
对于以上几组数列我们称它们为等差数列。
请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征,尝试着给等差数列下个定义:
等差数列:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
那么对于以上四组等差数列,它们的公差依次是5,5,-2.5,72。
学生认真阅读课本相关概念,找出关键字。
通过学生自己阅读课本,找出关键字,提高学生的阅读水平和思维概括能力,学会抓重点。
提问:
如果在与中间插入一个数A,使,A,成等差数列数列,那么A应满足什么条件?
由学生回答:
因为a,A,b组成了一个等差数列,那么由定义可以知道:
A-a=b-A
所以就有
让学生参与到知识的形成过程中,获得数学学习的成就感。
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A叫做a与b的等差中项。
不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。
如数列:
1,3,5,7,9,11,13…中5是3和7的等差中项,1和9的等差中项。
9是7和11的等差中项,5和13的等差中项。
看来,
从而可得在一等差数列中,若m+n=p+q
则
深入探究,得到更一般化的结论
引领学习更深入的探究,提高学生的学习水平。
[等差数列的通项公式]
对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?
这是我们接下来要学习的内容。
⑴、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。
下面由同学们根据通项公式的定义,写出这四组等差数列的通项公式。
由学生经过分析写出通项公式:
①这个数列的第一项是5,第2项是10(=5+5),第3项是15(=5+5+5),第4项是20(=5+5+5+5),……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
②这个数列的第一项是48,第2项是53(=48+5),第3项是58(=48+5×
2),第4项是63(=48+5×
3),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
③这个数列的第一项是18,第2项是15.5(=18-2.5),第3项是13(=18-2.5×
2),第4项是10.5(=18-2.5×
3),第5项是8(=18-2.5×
4),第6项是5.5(=18-2.5×
5)由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
④这个数列的第一项是10072,第2项是10144(=10172+72),第3项是10216(=10072+72×
2),第4项是10288(=10072+72×
3),第5项是10360(=10072+72×
4),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
学会发现规律,并加以总结。
⑵、那么,如果任意给了一个等差数列的首项和公差d,它的通项公式是什么呢?
引导学生根据等差数列的定义进行归纳:
所以
……
引导学生进行理性分析与推导,从而得出公式。
那么通项公式到底如何表达呢?
……
进一步的分析。
得出通项公式:
由此我们可以猜想得出:
以为首项,d为公差的等差数列的通项公式为
也就是说,只要我们知道了等差数列的首项和公差d,那么这个等差数列的通项就可以表示出来了。
思考,并发表各自的意见。
让学生有自主思考的时空。
应用巩固
例1、⑴求等差数列8,5,2,…的第20项.
⑵-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?
如果是,是第几项?
让两个学生分别对这两小题加以分析。
让学生参与课堂。
分析:
⑴要求出第20项,可以利用通项公式求出来。
首项知道了,还需要知道的是该等差数列的公差,由公差的定义可以求出公差;
⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。
要判断这个数是不是数列中的项,就是要看它是否满足该数列的通项公式,并且需要注意的是,项数是否有意义。
解:
⑴由=8,d=5-8=-3,n=20,得
⑵由=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为由题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。
解这个关于n的方程,得n=100,即-401是这个数列的第100项。
例题评述:
从该例题中可以看出,等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d、n(独立的量有3个)的方程;
另外,要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项,当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数,如果不是正整数,那么它就不是数列中的项。
聆听教师点评
通过教师点评,提高学生对关键问题的认知水平。
随堂练习:
课本45页“练习”第1题;
完成练习
讲练结合,有利提高学生的知识应用水平
例2.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4km(不含4千米)计费10元。
如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付多少车费?
根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km时,每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以,我们可以建立一个等差数列来计算车费.
令=11.2,表示4km处的车费,公差d=1.2。
那么当出租车行至14km处时,n=11,此时需要支付车费
答:
需要支付车费23.2元。
学以致用,将所学知识应用到具体生活中去,加深对概念的理解。
这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用,要学会从实际问题中抽象出等差数列模型,用等差数列的知识解决实际问题。
课本45页“练习”第2题;
例3已知数列的通项公式为其中p、q为常数,且p≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?
分析思考,然后分组讨论,让两组学生代表发表自己的见解。
培养学生分析问题的能力,在小组讨论中提高组长的组织与归纳组内成员想法的能力。
判定是不是等差数列,可以利用等差数列的定义,也就是看(n>1)是不是一个与n无关的常数。
取数列中的任意相邻两项(n>1),
求差得
它是一个与n无关的数.
所以是等差数列。
课本左边“旁注”:
这个等差数列的首项与公差分别是多少?
这个数列的首项公差。
由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列,一定是等差数列,一次项系数p就是这个等差数列的公差,首项是p+q.
通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法:
如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数,那么这个数列必定是等差数列。
对所得结论进行更深入一步的探究,激发学生的学习兴趣。
引导学生动手画图研究完成以下探究:
⑴在直角坐标系中,画出通项公式为的数列的图象。
这个图象有什么特点?
⑵在同一个直角坐标系中,画出函数y=3x-5的图象,你发现了什么?
据此说一说等差数列与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。
⑴n为正整数,当n取1,2,3,……时,对应的可以利用通项公式求出。
经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点;
⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象(点)在直线上,数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。
于是可以得出结论:
等差数列的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集,是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。
该处还可以引导学生从等差数列中的p的几何意义去探究。
学生动手画图,并进行学习小组讨论,发表见解。
通过学生动手作图,并加以对比,让学生体会数列与函数的内在关系。
课堂小结
本节主要内容为:
①等差数列定义:
即(n≥2)
②等差数列通项公式:
(n≥1)
推导出公式:
以学习小组为单位,在学习小组中,各自归纳自己对这堂课的收获,后由小组代表总结归纳。
学生自己小结,使学生对自己所学知识有更深刻的认识。
评价设计
1、已知是等差数列.
⑴是否成立?
呢?
为什么?
⑵是否成立?
据此你能得出什么结论?
是否成立?
据此你又能得出什么结论?
2、已知等差数列的公差为d.求证:
作业是课堂的延续,除了检验学生对本节课知识的理解程度,还在于引导学生对本课知识的进一步探究,让学生在更大的深度与广度之间进行思考。
七、教学反思
本节课通过生活中一系列的实例让学生观察,从而得出等差数列的概念,并在此基础上学会求等差数列的公差及通项公式,培养了学生观察、分