求导法则及求导公式Word格式文档下载.doc

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一、导数的四则运算

问题1设,求.

分析利用导数的定义及极限的四则运算知,.即

一般地,有如下和的导法则：

定理1（和的导数）设,在点可导,则

（求导是线性运算）

证明令

问题2设,则对吗？

分析一般地,有如下乘积的求导法则：

定理2（积的导数）设,在点可导,则

（它导它不导,它不导它导,然后加起来）

证明令

推论1.

推论2若函数在知可导,C为常数,则.

问题3设,求.

一般地,存如下商的运算法则：

定理3（商的导数）设,在点可导,则

.

给出（3）.

推论

（1）.

（2）.

（3）.

.利用导数的四则运算法则举例.

例1,求,.

例2,求.例3证明：

.

例4证明：

.

例5证明：

.利用导数的四则运算法则求导数举例：

1．;

2．;

3．;

4．;

5．;

6．;

7．;

8．;

9．.

二、反函数的导数

问题1设,求.

定理4设在区间上连续,严格上升,在点可导,且,.则反函数在点可导,且

注若在可导,导数,则反函数存在,且

.

这里导数可推出严格上升（下降）,反函数之导数公式也可写成

.

定理的证明要证存在,注意到这个比式是函数

与

的复合,由定理条件知

.

再由反函数连续性,时,,由复合函数求极限定理得

.

例6,求.

解,,反过来,如果已知,也可求.

例7,求.

解,.

例8,求.

解,

例9,求.

例10,求.

三、复合函数的导数

问题1设,求;

2）.设,求;

3）.设,求.

定理5设与存在,,则复合函数在点可导,且.

注若的定义域包含的值域,两函数在各自的定义域上可导,则复合函数在的定义域上可导,且（怀中抱月）或,.

定理的证明定义函数

在点连续,.

由恒等式,,我们有

令,得.

我们引进是为了避免再直接写表达式

中当时,可能会出现情况.

例1,求.

解

例2,求.

解.

例3,求.

例4,求.

.

例5,求.

解时,;

时,,时,.

例6,求.

四、隐函数微分法

若可微函数满足方程,则其导数可以从求出.一个方程何时能唯一决定一个可微函数,留待日后解决,现在我们通常假定能唯一决定一个可微函数,考虑如何求出导函数问题.

例7,求过点的切线方程.

解对方程求导,心中记住是的函数,得

，

在点上,,过切线方程为

即.

五、对数微分法我们结合例子研究对数微分法

例8,求.

解函数定义域和,取对数,两边对求导,采用隐函数微分法,得,所以.

例9,,,求.

解取对数,得,两边求导,得,

如,.

六、双曲函数及其反函数之导数

性质

由

反双曲函数

不是单值函数,可选一个分支来研究

小结

一、基本求导法则

1．；

2．,；

3．,；

4．反函数导数.

二、基本初等函数导数公式

1．;

2．;

3．,;

4．,,,;

5．,;

6．,;

7．,;

.

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